§ 3. Частоты и интенсивности

Нам остается подставить элементы Гейзенберговых матриц в классические формулы § 1. Прежде всего заметим, что если суть собственные функции оператора энергии

то зависимость от времени будет чисто периодической, с угловой частотой

Той же частотой будет, очевидно, обладать электромагнитное поле, вычисленное на основании (11) § 1. Таким образом, получается правило частот Бора, согласно которому частота излучаемого атомом света равна деленной на постоянную Планка разности уровней энергии атома в двух стационарных состояниях. Самый процесс излучения удобно связывать с переходом атома из одного стационарного состояния в другое.

Подставляя выражения (18) и (21) § 2 для плотности и вектора тока в формулы (9) или (11) § 1 для потенциалов, будем иметь

Мы будем считать, что длина волны испускаемого света

велика по сравнению с атомными размерами. Тогда можно пренебречь разницей в запаздывании электромагнитного поля, происходящего от разных точек излучающей атомной системы.

При таком предположении множитель под знаком интеграла почти не будет меняться во всей той области, где заметно отличны от нуля, и мы можем пренебречь по сравнению с в выражении для и вынести этот множитель за знак интеграла, а в выражении для заменить его линейной функцией от координат, по которым ведется интегрирование. Мы получим тогда

где, согласно (23) § 2,

Так как оператор для скорости — самосопряженный, то оба члена в последнем интеграле равны между собой, и мы можем написать

В силу уравнений движения, элемент матрицы для скорости равен производной по времени от элемента матрицы для координаты

где

С другой стороны, в силу ортогональности и нормировки функции

Подставим эти выражения в формулы (5) и положим сперва Так как диагональный элемент не зависит от времени, мы получим

т. е. электростатическое Кулоново поле от электрона. Полагая теперь будем иметь

Ввиду того, что

мы можем вместо (11) написать

Составляя по формулам (5) § 1 электрическое и магнитное поле, мы будем считать, что, хотя длина волны велика по сравнению с размерами атома, она тем не менее мала по сравнению с расстоянием от него до той точки, для которой вычисляется поле. При этом для упрощения вычислений мы можем рассматривать только вклад, даваемый векторным потенциалом, ибо, как можно показать, вклад скалярного потенциала влияет лишь на численное значение коэффициента в окончательных формулах. Мы будем тогда иметь

Эти формулы позволяют судить о поляризации и об интенсивности света данной частоты, соответствующей определенной спектральной линии. Если, например, окажется, что для данной пары значений пп (т. е. для данного перехода) одна из составляющих вектора например, отлична от нуля, тогда как две другие равны нулю, то свет поляризован по оси если же, наоборот, хппф тогда как то свет поляризован в плоскости Может случиться, что для определенных пар значений пп элементы матриц для всех трех координат равны нулю; тогда линии, соответствующие этим переходам, отсутствуют или, как говорят, запрещены. Во многих случаях можно установить определенные правила, на основании которых можно судить, какие линии запрещены и какие — нет. Эти правила носят название правил отбора.

Чтобы судить об интенсивности излучения, можно составить среднее по времени от вектора Пойнтинга взяв для этого вещественные части от Вектор Пойнтинга равен

Среднее по времени от этого выражения будет

Таким образом, интенсивность спектральной линии частоты пропорциональна выражению

так что отношение интенсивностей двух спектральных линий дается отношением соответствующих выражений

Если ввести вектор электрического момента электрона

то выражение (16) можно написать в виде

или, короче,

В том случае, когда атом содержит несколько электронов, выражение (18) также может служить мерой интенсивности,

если только разуметь под полный электрический момент, равный сумме моментов отдельных электронов. Правило отбора будет тогда состоять в указании, какие элементы Гейзенберговой матрицы для полного момента отличны от нуля.

Для иллюстрации изложенного рассмотрим пример вибратора, разобранный в предыдущей главе. Мы знаем, что элементы Гейзенберговой матрицы для координаты х равны [см. (8) § 8 гл. I]

Отсюда следует, что только те элементы отличны от нуля и, значит, только те переходы возможны, для которых квантовые числа отличаются друг от друга на единицу:

В этом заключается правило отбора для вибратора. Частота для этих «дозволенных» переходов равна основной частоте вибратора, тогда как кратных частот в излучении не появляется. Мерой интенсивности является для вибратора величина

так что интенсивность пропорциональна квантовому числу