§ 12. Уравнение Шредингера в параболических координатах

Мы напишем уравнение для собственных функций оператора энергии сразу в атомных единицах. Оно будет иметь вид

Возмущающая энергия равна здесь где есть электрическое поле в атомных единицах. Если обозначить поле в обычных единицах через то

Поэтому даже для сильных полей порядка или параметр будет малым.

Введем параболические координаты

Поверхности представляют ортогональную систему параболоидов, как это видно из уравнений

Переход к параболическим координатам удобно сделать в три приема, а именно, ввести сперва цилиндрические координаты затем положить

и, наконец, выразить через и и Отделяя в (5) вещественную и мнимую части, получим

а беря модуль, будем иметь

Отсюда

Беря квадрат модуля дифференциала (5) и выражая затем через получим

так что квадрат элемента длины дуги

будет равен

Элемент объема равен корню квадратному из произведения трех членов выражения (11)

Чтобы найти оператор Лапласа, проще всего воспользоваться известной теоремой, согласно которой оператор Лапласа в криволинейных ортогональных координатах имеет вид

где суть корни квадратные из коэффициентов в выражении для квадрата элемента дуги

Применяя эту теорему к нашему случаю, мы получим

Подставим это выражение в (1) и выразим при помощи (3) через и После умножения на и переноса всех членов в правую часть мы будем иметь

Нетрудно видеть, что это уравнение решается разделением переменных. В самом деле, если мы положим

то уравнение (16) будет выполняться, если будут удовлетворять уравнениям

где

В этих формулах есть не что иное, как «магнитное» квантовое число. Параметры а и связанные соотношением (20), подлежат определению из условия, чтобы уравнения (18) и (19) имели решения, конечные при всех значениях и от 0 до