§ 6. Формула дисперсии

В классической электронной теории излучение атома может быть характеризовано его электрическим моментом: квантовым аналогом электрического момента является, как мы видели в § 3, элемент Гейзенберговой матрицы для произведения заряда электрона на его координату, или сумма таких произведений, если электронов несколько.

Падающая волна вызывает появление некоторого добавочного электрического момента, который для оптически изотропной

среды будет пропорционален электрическому полю, а в общем случае будет линейной векторальной функцией от составляющих поля. Зависимость коэффициента пропорциональности (или коэффициентов векторальной функции) от частоты и является основанием для объяснения явления дисперсии.

Зная приближенное решение волнового уравнения, возмущенного световой волной, мы можем составить элемент Гейзенберговой матрицы для электрического момента. Пренебрегая квадратами и произведениями и получим

где

так что

что и оправдывает обозначение величины (2 крестом наверху. Подставляя в (2) вместо их выражения (15) § 5 и пользуясь (17) § 5, будем иметь

В формуле (1) для электрического момента появляются, кроме собственной частоты атома сумма и разность частот (явление Рамана). Члены

в формуле (1) представляют добавочный электрический момент, возникающий вследствие возмущения атома световой волной. Диагональный элемент добавочного момента

имеет ту же частоту, как и падающая волна: он является поэтому ближайшим аналогом добавочного момента классической теории.

Рассмотрим зависимость вектора от составляющих электрического поля. Выражение (4) для дает при

где, например,

а остальные коэффициенты выражаются по тому же закону и получаются из (8) заменой значков х и у соответствующими значками.

Таблица коэффициентов

(мы опустили значок ) обладает Эрмитовой симметрией, так что, например,

Таким образом, добавочный электрический момент есть линейная векториальная функция электрического поля, причем в случае комплексных коэффициентов (9) фаза не совпадает с фазой 8. Если же коэффициенты а вещественны (что будет, например, в том случае, когда собственные функции вещественны), то фазы и 8 совпадают, и уравнения (7) могуг быть написаны в виде

где 8 есть вещественный вектор электрического поля. Особый интерес представляет случай, когда

В таком случае зависимость между и приводится к простой пропорциональности

Наши выражения дают добавочный электрический момент для одной частицы. Чтобы получить полный момент всех частиц в единице объема, обозначим через число частиц в состоянии находящихся в единице объема, и составим сумму

которая равна

где

По классической электронной теории диэлектрическая постоянная связана с коэффициентом пропорциональности а формулы (15) соотношением

Таким образом, наши формулы дают связь между диэлектрической постоянной и атомными величинами.

В формуле (16) числа зависят от температуры. По классической статистике Больцмана эта зависимость была бы вида

где есть полное число атомов в единице объема и есть энергия одного атома в состоянии Коэффициенты же зависят лишь от свойств частицы и, кроме того, от частоты падающего света. Зависимость величины а от частоты и объясняет явление дисперсии света. Как видно из наших формул, частота входит в выражение для а через посредство знаменателей эти знаменатели являются характерными для формулы дисперсии.

Изложенная в этом параграфе теория представляет лишь общую схему, которая дает представление о воздействии света на атом. Теория эта далеко не полна по следующим причинам. Во-первых, связь между величинами, относящимися к одному атому или молекуле (например, электрический момент), и величинами макроскопическими (например, диэлектрическая постоянная) затронута здесь лишь вскользь, причем для характеристики статистического распределения систем по состояниям мы привели лишь классическую формулу (18). Во-вторых, даже величины, относящиеся к одному атому, описываются у нас полуклассически, так как не вводится представление о квантах.

света, и лишь схематично, так как мы, например, не рассматриваем случая кратных собственных значений и не выясняем, при каких условиях имеют место равенства (12). Наконец, мы ничего не говорим о том, что происходит в случае резонанса, и не затрагиваем вопроса о ширине спектральных линий.

Как уже было сказано в начале этой главы, сколько-нибудь полное изложение существующей теории излучения выходит из рамок этой книги.