§ 9. Гейзенберговы матрицы и правило отбора

Волновую функцию, соответствующую квантовым числам главное квантовое число), мы будем обозначать буквой или какой-нибудь другой буквой без штриха, а волновую функцию с квантовыми числами символом или соответствующей буквой со штрихом (звездочку которой мы отмечали в § 4 волновые функции в сферических координатах, мы здесь отбрасываем).

Если функция нормирована так, чтобы было

то элемент Гейзенберговой матрицы для какой-нибудь из координат, например х, будет равен

Если подставить в (1) вместо их выражения (20) § 4, условие нормировки напишется

Это условие будет выполнено, если

и

Подстановка же выражений (20) § 4 в формулу (2) дает

Аналогичные выражения получаются для координат у и

Как и в теории Шредингера, тройные интегралы вида (6) разбиваются на произведения простых интегралов, и если мы положим

то элементы Гейзенберговых матриц для координат х, у, z будут равны произведению величины (7) соответственно на

Для вычисления этих интегралов выразим по формулам (4) и (13) § 3 ч. III через Мы будем иметь

Вычислим сперва интеграл (10). Очевидно, что он будет отличен от нуля только, если в этом же случае он будет равен

или, если мы воспользуемся обозначениями § 4 ч. III,

Выражая здесь произведение по формуле (9) § 4 ч. Ill

мы можем, на основании ортогональности функций

заключить, что интеграл (12) может быть отличен от нуля только в трех случаях:

В этих же случаях он равен соответственным коэффициентам в формуле (13), а именно,

Аналогично вычисляются два первых интеграла (8) и (9). Для вычисления удобно составить, подобно тому, как это мы делали в § 9 гл. IV ч. II, их линейную комбинацию

которая будет, очевидно, отлична от нуля только, если При выполнении же этого условия она равна

Выразив здесь произведение по формуле (10) § 4 ч. III

мы убедимся, что интеграл (17) отличен от нуля лишь в тех трех случаях (14), когда он равен

или, если мы выразим через

Отсюда получаются по формулам, аналогичным (23) и (24) § 9

гл. IV ч. II, элементы матриц (8) и (9), которые мы выпишем в виде таблицы:

(см. скан)

Полученные результаты заключают в себе правило отбора, на основании которого можно судить, между какими термами переходы возможны и между какими они невозможны.

Правило отбора для квантового числа будет то же, что и в теории Шредингера, а именно, для координаты (свет, поляризованный по оси )

и для координат х и у (свет, поляризованный в плоскости ху)

Уровни, отличающиеся друг от друга значением квантового числа можно различить лишь в магнитном поле, направленном по оси поэтому неудивительно, что в правиле отбора для

ось играет особую роль: ее направление физически отмечено направлением магнитного поля. Правило отбора для будет

Согласно этому правилу, квантовое число всегда меняется на единицу, как и в теории Шредингера. Но не все переходы вида возможны: необходимо еще второе условие для квантового числа а именно, чтобы оно либо оставалось без изменения, либо менялось только на единицу. Например, переход между термами возможен, тогда как между и он запрещен.