§ 3. Оператор, сопряженный к данному. Самосопряженность
Каждому линейному оператору 
можно привести в соответствие некоторый другой оператор 
который удовлетворяет определенному функциональному уравнению и называется «сопряженным» к данному оператору; мы будем обозначать его той же буквой, что и данный оператор, но с прибавлением креста наверху 
Общее определение сопряженного оператора может быть сделано следующим образом.
Положим, даны две функции 
удовлетворяющие некоторым общим условиям, которые будут указаны ниже, а в остальном совершенно произвольные. Функциональное уравнение, из которого определяется сопряженный оператор 
имеет вид 
если независимые переменные непрерывны, и
если они прерывны. В первой формуле интегрирование, а во второй — суммирование распространяются на все значения независимых переменных в данной области. Символ 
в первой формуле есть элемент объема области. Чертой сверху мы обозначаем комплексные сопряженные величины. Общие условия для 
о которых мы упоминали, состоят в следующем. Функции 
во-первых, должны быть таковы, чтобы написанные суммы и интегралы имели смысл, т. е. были сходящимися, и, во-вторых, должны удовлетворять предельным условиям, вообще говоря, различным, смотря по виду оператора 
Если оператор 
совпадает с 
то последний называется самосопряженным.
В случае прерывной переменной оператор 
может быть представлен в виде (6) § 2 и формула 
примет вид
Чтобы это равенство имело место тождественно при любых 
необходимо, чтобы коэффициент при каждом произведении 
равнялся нулю. Приравнивая нулю величину
комплексную сопряженную, получим следующее выражение для элементов матрицы сопряженного оператора:
Для самосопряженности оператора необходимо и достаточно, чтобы элементы его матрицы удовлетворяли условию
Такая матрица называется Эрмитовой (Hermite). Если расположить ее элементы в виде таблицы так, чтобы первый их значок давал номер строки, а второй — номер столбца, то все элементы на главной диагонали (т. е. с одинаковыми значками) будут вещественны, а каждые два элемента, лежащие симметрично относительно главной диагонали, будут представлять комплексные сопряженные величины.
Рассмотрим случай одной непрерывной переменной и положим, что оператор 
имеет ядро 
Обозначая ядро сопряженного оператора через 
и пользуясь формулой (3) § 2, можем написать условие сопряженности (1) в виде
Чтобы это равенство имело места для любых двух функций 
необходимо, чтобы множитель при них под интегралом равнялся нулю. Отсюда получаем следующее выражение для ядра сопряженного оператора через ядро данного:
Таким образом, ядро сопряженного оператора получается из ядра данного перестановкой аргументов и переходом к комплексной сопряженной величине. Условие самосопряженности имеет вид
Совершенно аналогично определяется ядро сопряженного оператора в случае нескольких независимых переменных. В примере, рассмотренном нами в предыдущем параграфе, ядро оператора 
обратного оператору Лапласа, не меняется при перестановке координат двух точек 
так как, сверх того, это ядро вещественно, то оператор 
самосопряженный.
Если обратный оператор самосопряженный, то и данный оператор тоже самосопряженный. В частности, таковым должен быть и оператор Лапласа; это легко проверить непосредственно, пользуясь нашей общей формулой (1).
Мы имеем, в обычных векториальных обозначениях,
поэтому, если 
обращаются в нуль на бесконечности, то
по теореме Гаусса (Gauss).
Рассмотрим еще один пример. Положим
и найдем сопряженный оператор. Имеем
если только 
на концах промежутка. Поэтому мы можем положить
Таким образом, наш оператор 
не является самосопряженным. Но если мы умножим его на чисто мнимую постоянную, например на 
, то новый оператор
уже будет самосопряженным.
