§ 4. Закон изменения математического ожидания во времени

Математическое ожидание величины с оператором

будет, вообще, говоря, зависеть от времени. Если мы выберем такое представление операторов, в котором операторы для координат и моментов от времени явно не зависят, то в выражении (1) функция будет удовлетворять волновому уравнению

где оператор энергии.

Покажем прежде всего, что интеграл

стоящий в формуле (1) в знаменателе, не будет зависеть от времени. Мы имеем

и, пользуясь волновым уравнением, получаем

Но вследствие самосопряженности оператора это выражение равно нулю. Следовательно,

и если мы положим в начальный момент времени

то эта нормировка сохранится во всякое время Предполагая функцию нормированной, мы можем заменить выражение (1) на более простое:

которое также остается справедливым для всякого

Найдем производную по времени от математического ожидания Дифференцируя под знаком интеграла и заменяя производную ее выражением из волнового уравнения, получим

и так как оператор самосопряженный

Выполняя здесь дифференцирование, будем иметь

Оператор под знаком интеграла есть не что иное, как оператор для производной от по времени

Таким образом, равенство (7) выражает, что

т. е. что производная по времени от математического ожидания равна математическому ожиданию производной, как это и должно быть. Если исходить из этого, то наши рассуждения дают вывод выражения (8) для полной производной от оператора по времени — выражения, полученного нами ранее другим путем.

При рассмотрении волпового уравнения Шредингера (в части II) мы убедимся, что если в качестве брать операторы для

различных механических величин, то правые части уравнений вида (8) будут по форме совпадать с классическими. Таким образом, в квантовой механике между математическими ожиданиями и их производными по времени существуют те же соотношения, как между самими величинами и их производными в классической механике.