§ 10. Интенсивности в спектре водорода

Найденные нами выражения для радиальных функций позволяют вычислять интенсивности спектральных линий, соответствующих различным переходам, а также интенсивности в сплошном спектре. Выпишем здесь формулы для интенсивностей, выведенные нами в § 9 гл. IV, причем введем атомные единицы меры и примем во внимание, что уровни энергии для водорода не зависят от азимутального квантового числа Мы будем иметь

для переходов между дискретными уровнями и

для переходов с точечного на сплошной спектр. Для произвольных квантовых чисел пп, I входящие сюда величины выражаются довольно сложно, но для малых значений различные функции являются простыми полиномами, и интегрирование по можно выполнить для произвольных чисел или без особого труда. Мы ограничимся здесь рассмотрением случаев (серия Лаймана) и (серия Бальмера).

Для единственное возможное значение V есть поэтому надо вычислять лишь интеграл

или

Для возможна два значения а именно, Соответствующие интегралы будут для

и для

и, кроме того, такие же интегралы для сплошного спектра. Все эти интегралы берутся в конечном виде при помощи формул (8) § 4 и (16) § 4 и их непосредственных обобщений на собственные функции сплошного спектра. Упомянутые формулы имели вид

Чтобы получить желаемое обобщение, выразим здесь полиномы через ряды по формуле (22) § 3. Мы получим

В последнюю формулу можно ввести новый параметр заменив а на и х на после чего она примет вид

Нетрудно убедиться, что эти формулы справедливы не только для целых но и для любых дробных и комплексных значений этого параметра, если только постоянные а и таковы, что и интегралы (8) и (9) имеют смысл. Для доказательства (7) достаточно сравнить коэффициенты при степенях х в обеих частях равенства, а для доказательства (8) и (9) можно разложить в ряд и проинтегрировать его почленно.

Рассмотрим теперь интеграл (3). Подставляя по формулам (14) § 6 и (20) § 6 значения радиальных функций, будем иметь

Этот интеграл не совсем подходит под тип (9), так как степень в нем совпадает со вторым аргументом тогда как в (9) этот аргумент на единицу больше степени х. Для вычисления его мы можем либо применить формулу, получаемую дифференцированием (9) по параметру а, либо увеличить, при помощи (7), второй аргумент на единицу, а затем уже воспользоваться формулой (9). Применяя один из этих приемов, получим

Подстановка этого выражения в (10) дает

Интегралы (4), (5) и (6) вычисляются при помощи тех же приемов; в результате довольно сложных выкладок получается

Подобно этому, можно вычислить соответствующие интегралы и для сплошного спектра. Для этого нет необходимости повторять все выкладки, а можно воспользоваться готовыми результатами (12) — (15) на основании следующих соображений. Сравнивая выражения (15) § 6, (1) § 9 и (25) § 9 для радиальных функций точечного и сплошного спектра, мы убедимся, что они могут быть представлены в виде

где в обоих выражениях есть одна и та же аналитическая функция от а именно,

С другой стороны, интегралы типа (9) представляют также аналитические функции входящих в них параметров; так,

например, формула (11) справедлива и для чисто мнимого Поэтому, если мы положим, например,

то, на основании (3), (3, (16) и (17), мы будем иметь

или

Аналогично мы могли бы получить , но проще сделать переход к сплошному спектру уже в окончательных формулах для интенсивностей.

Чтобы получить интенсивность, соответствующую переходу между данными уровнями энергии, нужно взять сумму выражений (1) и (1 по всем допустимым значениям

Для серии Лаймана сумма приводится к одному члену

так что, по формуле (12),

Для серии Бальмера мы имеем

откуда, на основании (13), (14) и (15), получаем

Чтобы получить отсюда интенсивности для сплошного спектра, умножаем эти выражения на квадрат отношения множителей при в формулах (16) и (17), т. е. на величину

и заменяем на . В результате получается

Чтобы освободиться здесь от мнимых величин, положим в формуле (23)

и в формуле (24)

Эти подстановки приводят наши формулы к виду

В заключение заметим, что интенсивности, наблюдаемые на опыте, зависят кроме свойств отдельного атома также и от числа атомов в «начальном» состоянии, которое будет различным при различных условиях опыта. Поэтому сравнение выведенных здесь формул с опытом может быть лишь косвенное.