§ 2. Скобки Пуассона

Возникает теперь вопрос: как найти оператор для данной физической величины? Здесь могут служить две руководящие идеи. Во-первых, спектр собственных значений оператора должен совпадать с совокупностью наблюдаемых значений физической величины. Во-вторых, соотношения между операторами должны правильно передавать соотношения между физическими величинами. Существенную роль в сопоставлении операторов физическим величинам играет аналогия с классической механикой. Однако этой аналогией нужно пользоваться с осторожностью, так как она может оказаться не полной.

В классической механике механическая система может быть описана при помощи так называемых канонических переменных, т. е. обобщенных координат и обобщенных моментов Определение понятия «канонической сопряженности» координат и моментов может быть сделано при помощи так называемых скобок Пуассона. Напомним определение скобок Пуассона. Классические уравнения Гамильтона (Hamilton) имеют вид

Пусть есть некоторая функция от координат, моментов и времени

Составим полную производную от нее по времени

Если мы подставим сюда вместо их выражения уравнений Гамильтона, мы получим

где символом обозначено выражение

которое и называется скобками Пуассона для величин Аналогично определяются скобки Пуассона для любой пары величин

Основное свойство скобок Пуассона состоит в инвариантности их относительно любого преобразования переменных оставляющего неизменным вид Гамильтоновых уравнений (так называемого касательного преобразования). Кроме того, скобки Пуассона обладают следующими свойствами, которые легко выводятся из их определения:

где с есть постоянная, не зависящая от и от

Далее

Наконец, имеет место тождество

Для обобщенных координат и моментов скобки Пуассона равны

Эти последние равенства и могут служить определением канонической сопряженности координат и моментов в классической механике.

Как мы уже отметили, соотношения, формулированные при помощи скобок Пуассона (например, выражение для полной производной по времени), не зависят от выбора обобщенных координат и моментов. В виду этого можно ожидать, что, поскольку имеется аналогия между классической и квантовой механикой, то и в этой последней должно существовать понятие, аналогичное классическим скобкам Пуассона.

Вид этих квантовых скобок Пуассона был найден Дираком (Dirac) на основании начала соответствия Бора, причем исходной точкой служила классическая формула (6). Мы приведем

здесь другой вывод, также принадлежащий Дираку и основанный на предположении, что квантовые скобки Пуассона для любых некоммутативных операторов должны обладать всеми свойствами (7) — (11).

Выпишем формулу (10) и аналогичную формулу, получаемую из нее путем замены букв на на и использования свойства (7).

Мы будем считать здесь некоммутативными операторами, так что порядок множителей в (10) не будет безразличен. Мы предположим, что порядок множителей выбран именно так, как написано в формуле (10). Это можно мотивировать следующим образом. Если то формула (10) соответствует, по крайней мере в классической механике, правилу дифференцирования произведения по времени. Имея же дело с некоммутативными операторами, необходимо при дифференцировании сохранять порядок множителей, как это и принято в формуле (10), где всегда стоит слева от

Положим в Применяя , можем формулу (10) написать в виде

С другой стороны, положим в и применим (10). Мы будем иметь

Мы получили для одного и того же оператора два различных выражения, которые должны равняться друг другу тождественно, т. е. при любом виде операторов Приравнивая их, получаем

Это выражение будет тождеством только в том случае, если для любых двух операторов

где с есть оператор, коммутирующий с любым другим оператором. Но этим свойством обладает лишь оператор умножения на постоянную. Следовательно, с есть постоянная. Легко видеть, что эта постоянная должна быть чисто мнимой. В самом деле,

мы должны потребовать, чтобы скобки Пуассона от двух вещественных величин были вещественны. Следовательно, если самосопряженны, то и должно быть самосопряженным. Но мы имеем [см. формулу (8) § 4 гл. II]

Чтобы (15 совпадало с (15), необходимо, чтобы откуда

где вещественно. Таким образом,

Покажем, что это выражение удовлетворяет всем условиям (7) — (11). Справедливость равенств (7), (8), (9) очевидна. Далее, имеем

т. е. равенство (10). Наконец, для доказательства (11) достаточно в очевидном тождестве

сгруппировать надлежащим образом члены. Таким образом,, можно считать доказанным, что квантовые скобки Пуассона имеют вид (17). Остается определить вещественную постоянную h. Чтобы скобки Пуассона имели правильную размерность, необходимо, чтобы имело размерность действия. Чтобы найти численное значение можно было бы оставляя его неопределенным, построить нужные операторы и затем получить ил сравнения теории с опытом, например, из сравнения собственных значений оператора энергии с экспериментально наблюденными уровнями энергии. При этом получилось бы

где есть постоянная Планка. Мы будем с самого начала разуметь под эту величину.

Знание квантовых скобок Пуассона позволяет использовать имеющуюся аналогию между классической и квантовой механикой для установления вида квантовых операторов. О том, в какой мере эта аналогия действительно имеет место, можно будет судить, сравнивая теорию с опытом.