§ 8. Ангармонический вибратор
В качестве примера применения теории возмущений рассмотрим ангармонический вибратор в одном измерении. Предположим, что единицы меры выбраны так, что уравнение для собственных функций оператора энергии имеет вид
где 
представляет поправочный член. Предложим себе найти первое приближение для собственной функции и второе приближение для собственного значения. Для невозмущенного уравнения
собственные значения и функции нам уже известны, а именно
Элементы матрицы для возмущающего оператора 
получатся проще всего путем перемножения найденных в § 6 гл. I матриц для 
и для элементы которых равны
Мы будем иметь
Диагональный элемент матрицы 
равен нулю, как это, впрочем, видно и непосредственно из формулы (5). Следовательно, поправка к собственному значению в первом приближении исчезает. Приближенное значение собственной функции будет
где, согласно (9) § 3,
В нашем случае отличными от нуля будут только четыре члена этой суммы, а именно,
Подставляя сюда выражение (8) для элементов матрицы, получим окончательно
Нам остается вычислить по формуле (12) § 3 поправку для энергии во втором приближении. Мы будем иметь
Следовательно, приближенное значение энергии будет
Таким образом, поставленная нами задача решена.
Положим, что в операторе энергии имеется кроме 
еще один поправочный член вида 814, так что уравнение для собственных функций напишется
Если здесь 6 будет порядка 
то первое приближение для собственных функций не изменится, а к выражению (13) для собственного значения прибавится диагональный элемент матрицы для 
Вычислим этот добавочный член. Мы имеем
так что
Прибавляя (15) к (13), получим для собственного значения 
выражение
В частном случае, когда 
выражение (16) отличается от 
только постоянным членом 
В заключение заметим, что добавка к потенциальной энергии гармонического вибратора членов вида 
или 
меняет характер собственных функций оператора энергии. Поэтому мы имеем здесь дело с упомянутым в § 1 случаем, когда формальное применение теории возмущений приводит к расходящимся рядам и дает не «вполне», а лишь «почти» стационарные состояния. Формальный характер решения проявляется и в том, что при больших значениях 
поправка к уровню энергии в формуле (16) перестает быть малой.
