§ 4. Кратные собственные значения. Разложение по степеням малого параметра

Займемся теперь решением уравнения

для случая кратных собственных значений оператора Пусть невозмущенное уравнение

имеет решений

Мы знаем (§ 7 гл. II ч. I), что выбор этих решений остается в известной мере произвольным, так как функции (3) можно заменить их линейными комбинациями, произведя над ними унитарную подстановку. Для дальнейшего удобно понимать под решения, выбранные определенным образом, в зависимости

от оператора первоначальные же (какие-нибудь) s решений, линейными комбинациями которых являются мы будем обозначать символами

опуская значок который следует подразумевать.

Из алгебры известно, что при бесконечно малом изменении коэффициентов алгебраического уравнения кратный корень может разбиться на несколько простых; по аналогии мы и здесь можем ожидать, что кратное собственное значение может разбиться, вследствие возмущения, на простых Мы будем поэтому искать собственные значения в виде

где поправочные члены зависят от номера соответствующей собственной функции. Для этой последней напишем разложение

Подставляя (5) и (6) в уравнение (1) (где мы должны заменить на и на и приравнивая коэффициенты при степенях получаем ряд равенств

которые отличаются от аналогичных равенств (4а), (46), (4в) § 3 только добавкой второго значка у собственных функций и у собственных значений. Первое уравнение (7а) удовлетворяется само собой. Чтобы второе уравнение (76) имело решение, необходимо, чтобы правая часть была ортогональна к каждому решению однородного уравнения, так что

или, что то же самое,

Уравнения (8) или (9), вообще говоря, не будут удовлетворяться произвольными решениями уравнения (2), и нам надлежит найти те комбинации

известных решений (4), которые им удовлетворяют.