§ 3. Шаровые функции со спином
Если писать двухкомпонентную волновую функцию 
в виде столбца
то уравнение (28) предыдущего параграфа напишется в виде двух одинаковых уравнений
а уравнение (29) приведется к системе уравнений
Положим, чтобы удовлетворить также и уравнениям (2),
Тогда функции 
и должны будут удовлетворять системе уравнений
а условие нормировки для них будет
Эти функции можно выразить через обыкновенные шаровые функции 
изученные нами в §§ 4—6 гл. IV ч. II, посвященной теории Шредингера. Напомним некоторые их свойства. Функция
удовлетворяет уравнению
и представляет то его решение, которое остается конечным при 
При 
приводится к полиному Лежандра
а при 
будет равно
При отрицательных значениях 
функции 
выражаются через функции с положительным 
по формуле
Рассматриваемые как функции от угла функции 
удовлетворяют системе уравнений первого порядка
[уравнения (18) и (19) § 5 гл. 
К этой системе уравнений приводятся уравнения (5) для функций 
Переход от (5) к (12) можно совершить, произведя сперва преобразование
аналогичное переходу от 
даваемому формулами (18) и (21) предыдущего параграфа (величины 
в формуле (13) мы считаем вещественными). Уравнения для 
будут
Эти уравнения совпадут с уравнениями (12) для обыкновенных шаровых функций, если мы положим
или
и будем считать, согласно формуле (20) § 1, что
В качестве 
мы можем взять то из чисел
которое не отрицательно. Это можно записать так:
Приравнивая выражения (15) и (16) и используя формулу (11), мы получаем для отношения постоянных с и с выражение
Значения этих постоянных определяются из условия нормировки (6), которое может быть написано в виде
Мы получим
Если мы введем шаровые функции по формуле (7) § 6 гл. IV ч. II
нормированные согласно условию
то мы будем иметь
где корни квадратные нужно брать с положительным знаком. Принимая во внимание соотношение (18) между 
мы можем написать эти формулы в виде
Из этих формул видно, что функции 
с отрицательным значком 
выражаются через функции с положительным значком следующим образом:
Выпишем наши шаровые функции для нескольких значений 
(см. скан)
