§ 5. Возмущение атома световой волной

Когда плоская монохроматическая световая волна падает на атомную систему, она вызывает некоторое добавочное излучение, частота которого может равняться, во-первых, частоте падающей волны и, во-вторых, сумме или разности частоты волны и собственных частот атома [явление Рамана (Raman)].

Это добавочное излучение интерферирует с падающим, причем получается плоская волна измененной длины. Изменение длины волны в данной среде можно характеризовать ее показателем преломления или диэлектрической постоянной: эта величина будет, вообще говоря, зависеть от частоты, так что будет иметь место дисперсия света.

Мы рассмотрим здесь в общих чертах описанное выше явление. Наша задача распадается на две части. Прежде всего мы должны получить приближенное решение волнового уравнения Шредингера при наличии возмущающего поля световой волны. Затем мы должны найти частоты и интенсивности добавочного излучения и вывести выражение для диэлектрической постоянной.

Займемся решением возмущенного волнового уравнения. Если длина волны падающего света велика по сравнению с размерами атома, то возмущающая энергия, соответствующая падающей волне, будет приближенно равняться

где есть вектор электрического поля, a D - вектор электрического момента атома. В случае одного валентного электрона можно положить

Волну мы предположим монохроматической, так что

Поэтому зависимость возмущающей энергии от времени будет вида

где не зависят от времени. Обозначение оправдывается тем, что есть оператор, сопряженный, в смысле теории линейных операторов, с

Если есть невозмущенный оператор энергии, то волновое уравнение, приближенное решение которого нам предстоит найти, будет иметь вид

Мы будем считать внешнее электрическое поле малым и при вычислении ограничимся первым приближением. Положим

и будем считать малыми. Подставляя (6) в (5) и пренебрегая членами порядка получим

Этому уравнению мы удовлетворим, если выберем функции так, чтобы было

Уравнение (7) есть невозмущенное волновое уравнение; ему удовлетворяет функция

Если подставить (9) в (8) и (8, то будет ясно, что этим уравнениям можно удовлетворить, положив

где не зависят от времени. Для этих функций получаются уравнения

При решении этих уравнений мы должны будем предположить, что числа не совпадают ни с одним из собственных значений оператора т. е.

или

где

Неравенство (13) выражает отсутствие резонанса между собственной частотой атома и частотой волны. Если это

неравенство не выполняется, то наш способ решения уравнения (5), основанный на предположении о малости становится неприменимым.

При отсутствии резонанса уравнения (11) могут быть решены по способу § 2 гл. II. Предполагая для простоты, что кратные собственные значения и сплошной спектр отсутствуют, будем иметь

где

Так как мы предполагаем, что длина волны падающего света велика по сравнению с размерами атома, то амплитуду мы можем считать в пределах интегрирования в (16) постоянной; по формулам (1), (3) и (4) мы получим

где

На основании (6), (9) и (10) мы можем написать приближенное решение уравнения (5) в виде

где имеют значение (15) и (15.