§ 3. Операторы для координат и моментов

Вид оператора для данной физической величины зависит от выбора независимых переменных в функциях, к которым он применяется. При этом оператор для независимой переменной есть всегда умножение на эту переменную. Это вытекает из требования, чтобы собственные значения любой физической величины совпадали с собственными значениями ее оператора (см. § 6 предыдущей главы).

Например, если в системе с одной степенью свободы за независимую переменную взята координата х так, что операторы действуют на функции от х, то оператором для координаты будет умножение на х. Если бы мы вместо координаты взяли за независимую переменную другую величину, например, энергию, то оператор для энергии имел бы вид умножения, тогда как оператор для координаты имел бы другой, более сложный вид

При рассмотрении системы с несколькими степенями свободы может возникнуть вопрос, какие величины можно брать за независимые переменные и можно ли брать в качестве таковых любую комбинацию величин (например, энергию, одну из координат и одну из составляющих количества движения для системы с тремя степенями свободы). Ответить на этот вопрос можно при помощи следующего рассуждения. Операторы для независимых переменных представляют простое умножение и, следовательно, коммутативны; но это значит, что в качестве независимых переменных можно брать только такие величины, операторы которых между собою коммутируют. Судить же о том, какие величины коммутируют и какие — нет, мы можем на основании аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.

Электрон описывается в классической механике как материальная точка, обладающая тремя степенями свободы. Координаты электрона обозначим через

и моменты, соответствующие этим координатам, через

Классические скобки Пуассона для этих величин равны

Постараемся перевести это описание на язык квантовой механики. Мы предположим, что квантовые скобки Пуассона имеют тот же вид, что и классические, причем под операторами 0 и 1,

стоящими в правых частях равенств (3), мы будем разуметь операторы умножения на 0 и на 1. Если мы будем считать, что координаты электрона могут принимать все вещественные значения от до то уравнения (3) позволят нам найти вид операторов для

Прежде всего уравнения (3) показывают, что операторы для переместительны между собой; следовательно, мы их можем взять за независимые переменные, так что объектом действия всех операторов будут функции

Далее, уравнения (3) дают

Операторы

являются, как мы знаем, самосопряженными и удовлетворяют этим уравнениям, так как мы имеем, по сокращении на ,

и аналогично для координат

Чтобы найти самый общий вид операторов положим

Из уравнений (3) следует тогда, что

т. е. что переместительны с Кроме того, они должны быть самосопряженными. Следовательно, они представляют операторы умножения на вещественные функции от х, у, z так, что, например,

Но должны также удовлетворять условиям

или

т. е.

откуда

Следовательно, суть частные производные по от одной и той же вещественнойфункции от координат, так что

Покажем теперь, что путем подстановки над функцией мы можем привести операторы (12) к более простому виду (6). В самом деле, положим

и найдем вид оператора Мы имеем

Сравнивая (14) и (15), получаем

Присоединяя сюда аналогичные уравнения для у и можем написать

Таким образом, преобразованные операторы имеют вид (6). Связь между дается формулами

Мы будем предполагать, что это преобразование сделано с самого начала, так что под операторами для моментов действующими над функциями от координат, мы будем разуметь операторы (6).

То обстоятельство, что оператор для одной и той же физической величины может иметь различный вид [например, (6) и (12)], причем переходу от одного вида к другому [формулы (17)] соответствует определенная подстановка над функцией [формула (13)], является характерным для квантовой механики. На первый взгляд может показаться, что имеющийся здесь произвол влечет за собой неоднозначность ее законов. Однако это не так. Все величины, которые могут быть сравнены с опытом (например, собственные значения операторов), получаются вполне однозначно, так как они инвариантны относительно тех преобразований, которые остаются произвольными. Мы вернемся ниже (в § 12) к этому вопросу.