§ 2. Решение неоднородного уравнения

Рассмотрим неоднородное уравнение

где известная, искомая функция. Пусть параметр равен одному из собственных значений оператора так

что рассматриваемое уравнение имеет вид

Предположим сперва, что собственные значения простые, так что соответствующее однородное уравнение

имеет только одно решение Разложим функцию в ряд

и будем искать решение уравнения (2) в виде аналогичного ряда

Подставляя (4) и (5) в (2), будем иметь

В левой части этого уравнения коэффициент при равен нулю; для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы соответствующий коэффициент был равен нулю и в правой части. Условие

может быть записано в виде

Таким образом, чтобы неоднородное уравнение (2) имело решение, необходимо, чтобы свободный член его был ортогонален к решению соответствующего однородного уравнения. Если это выполнено, то остальные коэффициенты могут быть получены приравниванием соответствующих членов в обеих частях равенства (6). Мы будем иметь

так что разложение (5) напишется в виде

где штрих у знака суммы означает, что нужно опустить член, для которого

К этому выражению можно, очевидно, прибавить решение однородного уравнения, т. е. член вида где с — произвольная постоянная.

Если бы в уравнении (1) параметр не равнялся ни одному из собственных значений то на функцию не нужно было бы налагать никаких условий вида (8) и решение имело бы вид

где значок пробегает все значения без пропусков.

Обратимся теперь к случаю кратных собственных значений. Мы будем по-прежнему разуметь под различные собственные значения, так что кратность их выразится в том, что каждому может соответствовать несколько (скажем собственных функций, которые мы обозначим через

причем число может зависеть от Заметим, что собственные значения, принадлежащие сплошному спектру, могут быть также кратными; но мы будем, для простоты, писать наши формулы так, как если бы они были простыми. Положим, что однородное уравнение

имеет решений (12), и нам нужно найти решение неоднородного уравнения

Разложения заданной функции и искомой функции напишутся в виде

Подстановка (13) и (14) в (2) дает

Отсюда заключаем, что мы должны иметь

т. е. что функция должна удовлетворять условиям

Таким образом, чтобы неоднородное уравнение имело решение, необходимо, чтобы свободный член его был ортогонален к каждому решению соответствующего однородного уравнения.

Определив коэффициенты получим для выражение

Мы видим, что случаи простых и кратных собственных значений приводят к вполне аналогичным формулам и что формулировка условия существования решения неоднородного уравнения для общего случая почти не отличается от предыдущей.