§ 9. Правило отбора

Не зная точного вида радиальных функций, мы не можем вычислить значения элементов Гейзенберговых матриц, характеризующих, согласно результатам § 3 гл. III, интенсивности спектральных линий, соответствующих различным переходам. Однако пользуясь тем, что зависимость собственных функций от углов нам известна, мы можем указать, какие элементы этих матриц равны нулю, т. е. вывести правило отбора.

Для этого нам прежде всего нужно обобщить на случай нескольких квантовых чисел и кратных уровней энергии формулы

для интенсивностей, выведенные нами в §§ 3 и 4 гл. III. Эти формулы имеют вид

для точечного спектра и

для сплошного спектра. В нашем случае состояние электрона описывается тремя квантовыми числами; поэтому элементы Гейзенберговой матрицы будут вида

для точечного и

для сплошного спектра. Под частотами нужно, очевидно, разуметь соответственно

или, вернее, абсолютные значения этих величин.

Одной и той же частоте могут соответствовать различные переходы, отличающиеся друг от друга значениями квантовых чисел В обычных условиях (без магнитного поля) эти отдельные переходы нельзя отличить друг от друга, и наблюдается только сумма интенсивностей для всех переходов с одной частотой. Поэтому величину нужно в формуле (1) заменить на

и аналогично для координат у и Наконец, в сплошном спектре параметр энергии меняется непрерывно, так что по его значению нельзя судить о значениях квантовых чисел Поэтому величину в формуле (2) нужно заменить на

Заметим, что в силу правила отбора, которое мы выведем ниже, сумма (8) содержит лишь конечное число членов.

С указанными изменениями формулы (1) и (2) будут справедливы и в рассматриваемом здесь случае.

При наличии магнитного поля можно отличать друг от друга переходы, соответствующие различным значениям поэтому могут представить интерес и отдельные члены суммы (7).

Элементы Гейзенберговых матриц для координат соответствующие точечному спектру, вычисляются по формулам

где, согласно (1) § 8,

или

причем под со мы разумеем величину (5).

Каждый из этих тройных интегралов разбивается на произведение трех простых интегралов, причем интеграл по в (9), (10) и (11) один и тот же, а именно,

Интегралы по в и мы обозначим следующим образом:

Таким образом, элементы матриц для х, у, z будут равны (если опустить показательный множитель произведениям (14) соответственно на (15), (16) и (17). Для сплошного спектра выражения останутся те же, только в (14) нужно сделать очевидную замену на

Найдем значения интегралов (15), (16) и (17). Так как эти интегралы входят множителями в выражения (9), (10) и

то если окажется, что при определенных значениях они равны нулю, соответствующие элементы Гейзенберговых матриц также будут равны нулю; в этом и будет заключаться правило отбора.

Начнем с вычисления интеграла (17), как самого простого. Выполняя интегрирование по мы убедимся, что он может быть отличен от нуля только, если так как

В интеграле по вводим переменную

после чего интеграл (17) напишется

На основании формулы (11 § 6), заменяем здесь произведение его выражением

и, пользуясь ортогональностью и нормировкой функций получаем

Таким образом, элемент матрицы отличен от нуля только, если Для вычисления интегралов (15) и (16) удобно составить их линейную комбинацию

из которой выражения для (15) и (16) в отдельности получатся по формулам

Выражение (22) равно

Выполняя интегрирование по и вводя переменную будем иметь

Подставляя сюда выражение

получаемое из (12) § 6 заменой на и пользуясь ортогональностью и нормировкой а также равенствами вида

получаем

отсюда

и элементы матриц (15) и (16) получаются, на основании (23) и (24), как полусумма и деленная на полуразность выражений (28) и (29).

Мы видим, что выражения (15), (16) и (17), а следовательно, и элементы матриц для координат х, у, z могут быть отличны от нуля только при условии

В этом заключается правило отбора для азимутального квантового числа Согласно этому правилу, переходы между термами и т. д. возможны, тогда как, например, между переходы запрещены. Это правило согласуется с опытом.

Что касается магнитного квантового числа то элементы матриц для координаты могут быть отличными от нуля при условии

а элементы матриц для координат х и у при условии

В этом заключается правило отбора для Переходы, удовлетворяющие условию (31), дают свет, поляризованный вдоль оси а удовлетворяющие (32) —свет, поляризованный в плоскости Как мы уже отметили, переходы, соответствующие определенным значениям могут наблюдаться лишь при наличии магнитного поля (направленного вдоль оси

Выпишем в виде таблицы элементы матриц (15), (16) и (17), соответствующие отдельным переходам.

(см. скан)

Составим теперь суммы вида (7), которые входят в выражения для интенсивностей. При помощи формулы

мы получим без труда

и аналогично

и

Мы видим, что все три суммы имеют одно и то же значение Этого и следовало ожидать, так как после исключения квантового числа ось уже ничем не выделяется, и все три направления должны играть одинаковую роль. Суммы для случая получаются из предыдущих заменой I на так что они равны .

На основании полученных результатов мы можем составить окончательное выражение для интенсивностей. Мы будем иметь для переходов в пределах точечного спектра

Для переходов из сплошного спектра мы должны взять сумму соответствующих выражений, умноженную на

Наконец, для случая Кулонова поля, когда не зависят от I, мы должны наши выражения просуммировать также и по