§ 7. Момент количества движения

В качестве примера некоммутативных операторов рассмотрим три оператора

составленных из операторов для координат и моментов по той же схеме, как момент количества движения в классической механике. Мы увидим ниже, при рассмотрении квантовых уравнений движения электрона, что выражения (1) можно в самом деле толковать как операторы для момента количества движения.

Составим скобки Пуассона этих операторов с операторами для координат и моментов. Имеем

так как оператор не содержит дифференцирования по следовательно, коммутативен с умножением на х. Далее

Здесь мы воспользовались свойствами скобок Пуассона, известными нам из § 2. Аналогично получаем

При помощи формул (2) и (3) получаем скобки Пуассона для двух различных составляющих момента количества движения

Таким образом,

Полученные нами соотношения в точности совпадают с классическими.

Найдем собственные значения и функции операторов Уравнение для собственных функций напишется

где мы обозначили через собственное значение Если мы введем цилиндрические координаты

то уравнение (5) примет вид

Его решение будет, очевидно,

Чтобы эта функция была однозначной функцией точки в пространстве, необходимо, чтобы она была периодической функцией от с периодом Отсюда

где целое положительное или отрицательное число или нуль. Таким образом, мы нашли собственные значения и функции для Аналогично получаются они и для двух других операторов. Чтобы сравнить их между собой, удобно вернуться к прямоугольным координатам. Функция (6) (которую мы обозначим через и собственные функции для и напишутся

причем собственные значения суть

где целые числа.

Мы получили результат, который на первый взгляд может показаться парадоксальным: составляющая момента количества движения по любому направлению может, будучи измерена, принимать лишь значения, целые, кратные определенного числа Особенно странным кажется этот факт в виду того, что проекции вектора на бесконечно близкие направления бесконечно мало отличаются друг от друга.

Порадокс этот, однако, легко разъясняется. Прежде всего заметим, что единственная общая собственная функция операторов соответствует одновременным значениям

и равна

Но в этом случае вектор момента количества движения, а значит, и проекция его на любое направление равны нулю, так что тут никакого парадокса нет. Если же хотя бы одно из собственных значений отлично от нуля, то общих собственных функций у операторов нет. Следовательно, не существует такого состояния электрона, в котором две или три составляющие имели бы одновременно определенные значения, так что мы можем говорить только о целочисленности одной из них. Физически это означает следующее. Чтобы измерять составляющую момента количества движения электрона по какому-нибудь направлению, нужно определенным образом воздействовать на электрон, например, включить магнитное поле, имеющее это направление. Это воздействие «настраивает» электрон так, что составляющая вдоль поля принимает целочисленное значение. Остальные же составляющие остаются при этом неопределенными, ибо нет возможности их измерить, не меняя направления поля, т. е. не портя прежней «настройки» электрона. Таким образом, вытекающие из теории свойства момента количества движения являются выражением неизбежности влияния измерения на объект.