§ 10. Момент количества движения и вектор спина в теории Дирака

Рассмотрим теперь производные по времени от операторов представляющих обобщение операторов Паули. Для вычисления их удобно выразить по формулам (5) и (10) § 4 матрицы в операторе энергии (3) § 9 через и а и писать этот оператор в виде

Помня, что операторы а коммутируют с операторами находим по общей формуле (9) § 9 для производной по времени

Отсюда, на основании свойств (6) § 4 матриц а, получаем

Это и два аналогичных соотношения переписываем, на основании выражений (10) § 4 для матриц через и а и уравнений движения (10) § 9, в виде

В классической механике пропорциональны х, у, z и правые части уравнений (3) обратились бы в нуль; левые части также были бы равны нулю, так как переходу к классической механике соответствует Заметим, что порядок множителей в правых частях (3) безразличен.

Правую часть первого уравнения (3) можно написать в виде

Если заменить здесь их выражениями из уравнений движения (13) § 9, то уравнения (3) дадут

и аналогично

Эти уравнения можно толковать как аналог закону классической механики, согласно которому производная по времени от момента количества движения равна моменту действующих сил. Момент количества движения имеет здесь вид

Эти выражения представляют обобщение тех, которые были подробно изучены нами в разделах этой книги, посвященных теории Паули. Они переходят в выражения Паули, если положить вектор-потенциал равным нулю (так что и взять для операторов представление в виде двухрядных матриц Паули.

Рассмотрим соответствующее обобщение оператора

уже изученного нами при изложении теории Паули. Составим производную от оператора по времени, соответствующую оператору энергии (1). Оператор энергии можно выразить через следующим образом:

Отсюда видно, что единственным членом в , не коммутирующим с будет член, содержащий скалярный потенциал. Поэтому

или

Таким образом, производная от по времени пропорциональна скалярному произведению электрического поля на вектор спина когда электрическое поле равно нулю, оператор будет интегралом уравнений движения. Заметим, что такое же уравнение движения для оператора получилось бы и в теории Паули, где оператор входит в выражение для оператора энергии не линейно, а квадратично.

В теории Паули мы встречались с оператором

Мы показали там, что этот оператор антикоммутирует с оператором Поэтому оператор не будет интегралом уравнений движения теории Дирака даже для свободного электрона. Но в силу того, что матрица антикоммутирует с матрицей входящей в первый член выражения (7) для Я и коммутирует с остальными членами, оператор рбудет, при отсутствии поля, коммутировать со всеми членами оператора Я и тем самым будет интегралом уравнений движения.

При отсутствии поля оператор может быть написан в виде

где имеют значения (5). Будем разуметь под выражение (10) также и в том случае, когда входящие в формулы (5) операторы количества движения содержат вектор-потенциал. Составим для этого (общего) случая выражение для полной производной по времени от оператора Мы будем иметь

Правая часть этого выражения обращается в нуль не только при отсутствии поля, но и в том важном для физических приложений случае, когда магнитное поле равно нулю, а электрическое поле направлено по радиус-вектору (центральное поле). Задача об электроне в поле с центральной симметрией будет рассмотрена в следующей главе.