§ 3. Операторы в сферических координатах. Разделение переменных

Так как в рассматриваемой задаче поле обладает сферической симметрией, то для исследования наших операторов (12) § 2 удобно ввести сферические координаты положив

Выразим операторы через производные по и по

Оператор будет равен

или, после упрощений,

Мы получили как раз тот дифференциальный оператор, который фигурирует в известном из теории потенциала уравнении для шаровых функций

где целое число есть порядок шаровой функции. Из сравнения (4) с уравнением (12) § 2 для собственных функций оператора мы можем заключать, что собственные значения К оператора равны

Чтобы найти преобразованный оператор энергии Я, воспользуемся известным выражением оператора Лапласа в сферических

координатах. Мы получим

Совокупность производных по и по здесь та же, что в операторе Что касается производных по то мы можем написать их в виде

где есть оператор

который мы можем, по аналогии с толковать как оператор для радиальной составляющей количества движения. Вводя в , мы будем иметь

Написанный в таком виде оператор энергии совпадает по форме с классической Гамильтоновой функцией в сферических координатах.

Уравнения для общих собственных функций операторов могут быть написаны в виде

Пользуясь вторым из этих уравнений и выражением (8) для оператора мы можем первое представить в виде

Уравнение (11) содержит явным образом только переменные и уравнение - только переменную поэтому мы можем искать решение этих уравнений в виде произведения функции от на функцию от Чтобы функция удовлетворяла также волновому уравнению

мы должны ввести показательный множитель и положить

где, согласно сказанному,

Множитель, зависящий от углов и мы положили равным шаровой функции порядка I, так как она удовлетворяет уравнению (4), совпадающему с (11). Множитель (мы будем называть его радиальной функцией) должен удовлетворять уравнению (12), которое мы напишем в виде

Таким образом, знание интеграла энергии и интегралов площадей позволило нам произвести разделение переменных, т. е. привести решение волнового уравнения для функции от четырех переменных к решению более простых уравнений для функций от меньшего числа переменных.