§ 13. Явление Зеемана. Постановка задачи
Уровни энергии для центрального поля зависят, как мы видели, только от двух квантовых чисел 
третье квантовое число 
в выражение для энергии не входит, так что один и тот же уровень может соответствовать состояниям с разными значениями числа 
Если же поместить атом в магнитное поле, то каждый уровень расщепляется на несколько отдельных уровней, отличающихся друг от друга значением квантового числа 
. В этом состоит так называемое явление Зеемана (Zeeman). Для объяснения этого явления теория Шредингера оказывается недостаточной; теория же Дирака дает, как мы сейчас покажем, полную теорию этого явления, вполне согласующуюся с опытом.
Обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля — уравнение Паули — было рассмотрено нами в § 
Но в уравнении Паули отброшены поправки на теорию относительности; между тем расщепление уровней от магнитного поля, вообще говоря, того же порядка, как эти поправки, так что их нужно рассматривать одновременно. Поэтому для объяснения явления Зеемана необходимо рассматривать уравнение Дирака, учитывающее как теорию относительности, так и магнитное поле.
Положим, что мы имеем постоянное магнитное поле 
направленное вдоль оси 
Вектор-потенциал этого поля будет, как мы знаем,
а обобщенная составляющая вектор-потенциала по углу 
найдется по формуле
или
откуда
Добавочный член, который нужно прибавить к оператору энергии без поля
получится, по общему правилу, путем замены 
на
Обозначим этот член буквой 
он будет равен
Чтобы найти поправку к энергии, происходящую от этого члена, нужно применить теорию возмущений и вычислить элементы матрицы оператора 
соответствующие различным переходам. Как мы видели в § 7 гл. 
главную роль играют элементы, соответствующие переходам между уровнями, весьма близкими между собой, т. е., в нашем случае, между уровнями одного дублета. Поэтому мы будем рассматривать только эти переходы и положим
Что касается квантового числа 
то оператор 
коммутирует с оператором дифференцирования по 
т. е. с оператором 
собственное значение которого есть 
поэтому (см. второй вывод правила отбора в § 10) матрица оператора 
будет диагональной относительно 
так что нужно положить
Нам нужны, таким образом, следующие элементы матрицы: 
(квантовые числа пит мы для краткости опускаем).
Полный оператор энергии будет равен
и уравнение для его собственных функций напишется
Применяя способ, изложенный в § 7 гл. II ч. II, будем искать приближенное значение в виде
где 
собственные функции невозмущенного оператора энергии 
Подставим (9) в (8), умножим слева на и проинтегрируем; затем умножим на 
и проинтегрируем. Мы получим два уравнения
где 
есть невозмущенный уровень, соответствующий квантовому числу 
Приравнивая нулю определитель из коэффициентов при неизвестных 
мы получим для 
квадратное уравнение, корни которого суть
где мы положили для краткости
Формула (11) и дает исправленные значения уровней энергии.
