§ 4. Решение дифференциального уравнения для шаровых функций

Мы видели, что уравнение (11) § 3 для собственных функций квадрата момента количества движения совпадает с уравнением (4) § 3 для шаровых функций. Поэтому теория собственных функций интегралов площадей есть не что иное, как теория шаровых функций.

Найдем общие собственные функции операторов

Шаровая функция будет собственной функцией оператора если она будет удовлетворять уравнению

решение которого есть

Чтобы была однозначной функцией точки в пространстве, необходимо, чтобы она была периодической функцией от с периодом Отсюда следует, что собственные значения оператора должны равняться

Этот результат мы имели уже раньше (в § 7 гл. Таким образом,

Подставляя это выражение в уравнение (4) § 3 для шаровых функций, получим

Если ввести в качестве независимой переменной величину

то уравнение (4) примет вид

Значения являются особенными точками этого уравнения, так как если его решить относительно второй производной, то коэффициенты обратятся при в бесконечность. Если рассматривать I как неопределенный параметр, то можно показать, что уравнение (6) только в том случае имеет решение, которое остается конечным при когда I есть целое число. Это значит, что шаровые функции являются единственными решениями уравнения (6), удовлетворяющими поставленным условиям, т. е. единственными собственными функциями оператора

Найдем решение уравнения (6) при целом Рассмотрим сперва частный случай Положим

и возьмем логарифмическую производную от у,

или

Продифференцируем это уравнение раз по х и положим

Мы получим

Если положить здесь получится уравнение, совпадаю» с (6) (при Решение этого уравнения,

обращающееся в единицу при обозначают символом и называют полиномом Лежандра (Legendre) порядка Полином Лежандра отличается от выражения (7) при только постоянным множителем. Определяя этот множитель из условия получим

Этот полином удовлетворяет, следовательно, уравнению

представляющему частный случай (6). Рассмотрим теперь общий случай Сделаем подстановку

Для получается уравнение

Если бы мы вместо (11) положили

то для получилось бы уравнение, отличающееся от (12) лишь знаком а именно,

Оба уравнения (12) и (14) получились того же вида, как и уравнение (8), причем для (12) число равно а для (14) оно равно Поэтому мы можем положить

Приравнивая выражения (11) и (13) для 0, получим

Чтобы найти отношение постоянных достаточно приравнять оба выражения (18) для какого-нибудь частного значения х. Вычисление дает

Принято полагать

и, следовательно,

и обозначать соответствующее решение уравнения (6) символом Таким образом, функции

равные также

удовлетворяют уравнению

и представляют те решения, которые остаются конечными при

Выражения (21) и (22) определяют функцию как для положительных, так и для отрицательных значений целого числа причем из сравнения (21) с (22) следует, что

При выражения (21) и (22) обращаются в нуль, так что решений уравнения (6), которые бы оставались конечными при не существует, поэтому при данном I число может принимать лишь значения

всего значение. Неравенство

вытекает из физического смысла этих величин. В самом деле, есть с точностью до множителя собственное значение

оператора собственное значение оператора отсюда следует что

откуда

а так как и I суть целые числа, то предыдущее неравенство эквивалентно неравенству (26).

Припоминая выражение (9) для полинома Лежандра, мы можем шаровую функцию с положительным значком представить в виде

В теории потенциала обычно рассматривают лишь функции с положительным значком и пользуются этой формулой в качестве их определения.

При исследовании дифференциального уравнения (6) мы предполагали, что есть целое число. Однако в некоторых задачах, связанных с теорией Паули и теорией Дирака, число может быть и полуцелым (т. е. половиной нечетного числа). При этом функция (1) уже не будет однозначной функцией точки, так как она будет менять знак при увеличении на Но выражения (17) для в сохраняют смысл и в том случае, когда оба числа полуцелые, так что ими можно пользоваться и в этом случае.