§ 13. Уравнения второго порядка

Из волнового уравнения Дирака, представляющего систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка для четырех функций, можно исключить две функции и составить систему двух уравнений второго порядка для двух функций каждое. Из этой системы можно затем, путем предельного перехода с получить нерелятивистское волновое уравнение для электрона в магнитном поле. Это приводит нас к теории Паули, рассмотренной в части III этой книги.

Так как вывод уравнения Паули из уравнения Дирака представляет интерес и сам по себе, мы приведем его здесь, хотя результат известен нам заранее.

Чтобы получить из волнового уравнения Дирака систему двух уравнений второго порядка, напишем волновое уравнение в виде

где есть рассмотренный в § 11 оператор кинетической энергии электрона. Применим к обеим частям этого равенства оператор еще раз; мы получим после некоторых преобразований

Выражение в квадратных скобках в правой части представляет, как легко видеть, умноженную на полную производную оператора по времени, которую мы уже вычисляли (формула (5) § 11). Выражение для мы также вычисляли, но мы. должны его несколько преобразовать. Вычисляя оператор во

втором члене (9) § 11, получим, на основании формул (11) § 9 и свойств матриц о,

Если раскрыть выражения вида

и воспользоваться для краткости векториальными обозначениями, получим отсюда

Подставим это выражение в (2) и воспользуемся формулой (8) § 11 и соотношением

Мы получим

Это уравнение можно также написать в виде

Написанное выражение представляет собой четыре уравнения для четырех функций При нашем выборе матриц в первые два уравнения входят только первые две функции а в последние два — только так что уравнения (7) распадаются на две отдельные системы.

Выражение (7) отличается от релятивистского обобщения уравнения Шредингера, предложенного разными авторами до введения понятия электронного спина и до теории Дирака, двумя последними членами, содержащими матрицы о и х.

Посмотрим, какое уравнение получается из (6) или (7), если пренебречь поправкой на теорию относительности, т. е. произвести предельный переход с в предположении, что энергия частицы близка к энергии покоя Для этого положим

и будем считать, что меняется со временем весьма медленно по сравнению с

Для стационарных состояний это предположение соответствует тому, что в выражении

мы полагаем

и считаем, что весьма мало по сравнению с Подставляя выражение (8) в уравнение (6) и деля на мы получим без пренебрежений

Переходя здесь к пределу мы должны помнить, что множитель в членах, содержащих магнитные величины происходит от употребления электростатических единиц, т. е. является константой. Ввиду этого мы должны в левой части (11) сохранить все члены, тогда как правую часть можно заменить нулем. Таким образом, приближенное уравнение будет

Оператор в левой части уравнения (12)

будет самосопряженным. Если разуметь здесь под о совокупность двухрядных матриц Паули, то оператор Я совпадет с оператором Паули, рассмотренным в § 5 третьей части этой книги, а волновое уравнение (12) совпадет с уравнением Паули. Введение четырехрядных матриц ничего не изменит по существу, так как уравнение (12) для четырехкомпонентных функций приведется тогда к двум эквивалентным системам уравнений для двухкомпонентных функций.

То обстоятельство, что уравнение Паули получается из уравнения Дирака как приближение, является его дополнительным обоснованием.

В заключение напишем волновое уравнение (12) в раскрытом виде. Обозначая, согласно формуле (18) § 5 ч. III, через оператор

не содержащий матриц, мы будем иметь

где

есть величина магнитного момента электрона.

Разумея под о двухрядные матрицы Паули, введенные в § 1 ч. III,

и под двухкомпонентную волновую функцию (первые две компоненты четырехкомпонентной функции Дирака), мы можем, при нашем выборе матриц (формулы (26) § 4 этой главы), написать уравнение (12) в виде

Аналогичный вид будут иметь уравнения для последних двух компонент и Они будут отличаться от (18) изменением знака в членах, происходящих от (иначе говоря, в членах, пропорциональных При выборе матриц по Дираку (формула (18) § 4) уравнения для последних двух компонент будут простым повторением уравнений для первых двух.