§ 8. Разложение по собственным функциям. Замкнутость системы функций

Рассмотрим собственные функции

оператора с точечным спектром: мы предположим их нормированными. Пусть есть произвольная функция с

интегрируемым квадратом. Постараемся разложить ее в ряд по функциям Для этого положим

Сумма представляет собой первые членов разложения, -остаток. Коэффициенты будем выбирать так, чтобы получить возможно меньшую погрешность, причем за меру погрешности примем интеграл

который равен

Этот интеграл представляет квадратичную функцию относительно неизвестных Мы будем искать минимум этой функции, для чего приравняем нулю производные от нее по Мы имеем, в силу ортогональности собственных функций,

Легко убедиться, что мы можем дифференцировать по как если бы это были независимые переменные. Приравнивая нулю производную по получим следующее выражение для коэффициента разложения

С этим значением выражение для среднего квадрата погрешности напишется

Так как величина по определению не может быть отрицательной, то для всякого мы имеем неравенство

Если для всякой функции с интегрируемым квадратом в пределе имеет место равенство

или, что то же,

то система функций называется замкнутой. Название это происходит от того, что тогда нельзя найти такой функции которая была бы ортогональной ко всем функциям В самом деле, для такой функции все а следовательно и интеграл были бы равны нулю, а это возможно только, если сама функция равна нулю (за исключением разве отдельных точек).

Равенство (9) означает, что в пределе остаточный член обращается в нуль (кроме, может быть, отдельных точек), так что имеет место разложение в ряд

Если другая функция разлагается в ряд

то имеет место равенство

представляющее собой обобщение формулы замкнутости.

В математике доказывается для операторов весьма общего вида, что совокупность собственных функций представляет замкнутую систему.

Если собственные значения оператора кратные, то в разложении

каждый член

нужно заменить суммой членов

где

В случае сплошного спектра деленные на собственные дифференциалы

обладают всеми свойствами ортогональной и нормированной системы функций. Поэтому мы можем написать разложение в виде

где

или, после перехода к пределу

где

В некоторых случаях эти формулы можно заменить более простыми

Эти формулы представляют разложение в интеграл, аналогичный интегралу Фурье (Fourier), который представляет их частный случай.

Для сплошного спектра формула замкнутости напишется

или если есть «коэффициент разложения» другой функции (аналогичный с для то

Если оператор имеет, кроме точечного, сплошной спектр, то в разложение по его собственным функциям, а также в формулу замкнутости будет входить кроме суммы еще и интеграл.