§ 9. Каноническое преобразование

Мы видели, что состояние электрона может быть описано функцией от координат или от других независимых переменных, например, составляющих количества движения. Переход от одних независимых переменных к другим называется каноническим преобразованием.

Пусть волновая функция, выраженная через координаты, есть или, проще если мы будем разуметь под х совокупность всех трех координат. Положим, мы имеем оператор с собственными значениями и собственными функциями образующими замкнутую систему. Тогда функцию можно разложить по собственным функциям

причем коэффициенты разложения (как , так и с ) определяются через следующим образом:

Функция вполне определяется совокупностью коэффициентов разложения Поэтому, если описывала состояние системы в независимых переменных х, то с описывает его в независимых переменных . При этом, если была нормирована, то и с будет нормирована, так как по теореме замкнутости мы имеем

Такое состояние системы, в котором описывается в переменных Я следующей функцией с (Я):

Если в данном состоянии причем Я принадлежит к сплошному спектру, то в формуле (1) коэффициенты нужно положить равными нулю, а интеграл понимать в смысле Стильтьеса и писать его в виде

где

Формулу (2) можно рассматривать, как разложение функции по функциям

причем коэффициентом разложения является здесь

определяемое по формуле (1). Мы увидим ниже, что суть собственные функции оператора х в переменных Я. Таким образом, между описанием состояния в переменных х и в переменных имеется полное равноправие.

Посмотрим теперь, как преобразуются операторы при переходе от одних независимых переменных к другим. Возьмем сперва тот самый оператор по собственным функциям которого ведется разложение. Применим его к функции Так как есть собственная функция то

и мы получим

Таким образом, переходу от т.е. применению оператора, соответствует переход от с т.е. умножение на . Следовательно, оператор выраженный в независимых переменных , представляющих его собственные значения, есть умножение на , как это и должно быть: в самом деле, мы уже видели (в § 3), что оператор для независимой переменной есть умножение на эту переменную.

Возьмем теперь вместо некоторый другой оператор и применим его к функции Для простоты положим сперва, что оператор имеет только точечный спектр, так что разложение по его собственным функциям напишется:

Применяя к получим

Функцию разложим в свою очередь по

где символом обозначены коэффициенты разложения

Подставляя (12) в получим

где через обозначена величина

Таким образом, переходу от соответствует переход от Следовательно, оператор выраженный в переменных , имеет вид (15).

Если бы оператор имел также и сплошной спектр, то вместо формул (10), (12), (14) и (15) мы имели бы

причем в (12 и (15 можно разуметь под собственное значение, принадлежащее к сплошному или к точечному спектру. Определение аналогично (13). Может случиться, что интеграл, выражающий расходится; это значит, что оператор в переменных не имеет ядра. В таком случае под оператором в переменных мы будем разуметь тот, который переводит коэффициенты разложения с функции в коэффициенты функции хотя бы эти и не выражались в виде .

Рассмотрим пример. Положим, что есть оператор для координаты х, так что, будучи применен к он представляет просто умножение на х. Рассмотрим вид оператора в переменных . Уравнение для его собственных функций будет

Легко видеть, что ему удовлетворяют функции

где есть собственная функция оператора в переменных х. В самом деле, если припомнить равенство

выражающее самосопряженность оператора х, и заменить с на то уравнение, комплексное сопряженное с (16), напишется

а это есть не что иное, как разложение произведения по То же остается справедливым, если взять вместо х любой оператор Таким образом, собственные функции оператора в переменных суть величины комплексные сопряженные к собственным функциям оператора в переменных Этот результат остается верным и тогда, когда операторы не имеют ядра.