§ 17. Теорема вириала в классической и квантовой механике

В классической механике для финитного движения материальных точек (т. е. для такого движения, в котором их координаты и, разумеется, скорости остаются все время конечными) имеет место теорема вириала, согласно которой среднее значение кинетической энергии связано со средним значением «вириала», т. е. некоторого выражения, линейного относительно производных от потенциальной энергии по прямоугольным координатам, с коэффициентами, пропорциональными этим координатам. В случае одной материальной точки мы имеем для вириала выражение

где потенциальная энергия. Но из уравнений движения

вытекает, что

С другой стороны, мы имеем

или

Но легко видеть, что среднее по времени от левой части выражения (6) равно нулю (это есть разность значений выражения (4) для двух далеко отстоящих моментов времени, деленная на промежуток времени между ними). Таким образом,

В этом и заключается теорема вириала классической механики для случая материальной точки. Она легко может быть обобщена на случай системы материальных точек.

Если потенциальная энергия есть однородная функция степени от координат, то, согласно (1), мы будем иметь

и, следовательно,

Переходим теперь к квантовой механике. Среднему по времени от некоторой классической величины можно сопоставить в квантовой механике математическое ожидание квантового аналога этой величины в состоянии с определенной энергией. Покажем, что при таком сопоставлении в квантовой механике действительно будет иметь место соотношение, аналогичное теореме вириала классической механики.

Уравнение Шредингера для материальной точки (а также для системы материальных точек) может быть получено из вариационного начала

где

причем есть оператор кинетической энергии, есть потенциальная энергия, параметр энергии.

Мы ограничимся здесь случаем одной материальной точки. Тогда

где А есть оператор Лапласа.

Если функция нормирована так, что

то величина

есть математическое ожидание кинетической энергии, а величина

— математическое ожидание потенциальной энергии.

Теорема вириала может быть сформулирована следующим образом.

Если волновая функция принадлежит к точечному спектру и потенциальная энергия есть однородная функция степени от координат, так что

то имеет место равенство

т. е. удвоенное математическое ожидание кинетической энергии равно умноженному на математическому ожиданию потенциальной энергии.

Для доказательства заменим в координаты величинами, им пропорциональными и рассмотрим функцию

которая при условии (13) также будет нормирована на единицу. Подставим в интеграл действия (11) и обозначим через То и математические ожидания кинетической и потенциальной энергии в состоянии, описываемом функцией Так как при замене на (т. е. при изменении масштаба) оператор переходит в а условие нормировки для будет то же как для мы получим

а также

и, в силу однородности функции

Интеграл действия (11) будет равен

Приравнивая нулю его вариацию по параметру X, получим

Но решение вариационной задачи получается при Отсюда

что и требовалось доказать.

В общем случае произвольной потенциальной энергии мы будем иметь

Наши рассуждения легко переносятся на случай системы частиц при условии однородности операторов выражаемой формулами (19) и (21).

Соотношение, выражающее теорему вириала, удовлетворяется не только точным, но и приближенным решением задачи, если только решение получено по вариационному способу, допускающему вариацию масштаба. Под вариацией масштаба мы разумеем преобразование волновой функции вида (18) (с соответствующим обобщением для многих частиц) и последующее определение параметра X из вариационного начала. Таким свойством обладает, в частности, получаемый из вариационного начала способ «самосогласованного поля», рассмотренный в части IV этой книги.