§ 6. Коммутативность операторов
Пусть 
есть общая собственная функция операторов 
так что
Применим к первому равенству оператор 
а ко второму оператор 
Мы получим
и, следовательно,
Положим теперь, что общие собственные функции образуют замкнутую систему. Тогда произвольную функцию 
можно разложить в ряд (или интеграл) вида
Так как равенство (2) справедливо для каждого члена разложения, то (при условии сходимости ряда для 
оно справедливо и для суммы, так что для любой функции 
или
т. е. операторы 
коммутативны. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Если общие собственные функции двух операторов 
образуют замкнутую систему, то операторы коммутативны.
Докажем теперь своего рода обратную теорему. Если два оператора 
коммутативны, то они имеют общие собственные функции.
Пусть собственному значению X оператора 
соответствует одна или несколько собственных функций 
где значок 
служит для того, чтобы отличать разные функции, принадлежащие одному и тому же 
Тогда самое общее решение уравнения
будет
Применим к уравнению
оператор 
Пользуясь переместительностью 
имеем
Функция 
является, таким образом, собственной функцией оператора 
принадлежащей собственному значению 
Следовательно, она будет линейно выражаться через 
так что
где коэффициент 
должен, очевидно, зависеть кроме 
также и от 
Можно составить теперь такую линейную комбинацию функций 
вида (6), которая бы одновременно удовлетворяла уравнению
Подставим в (9) выражение (6) и воспользуемся равенством (8). Приравнивая коэффициенты при 
получим
Число 
этих уравнений равно числу возможных значений 
при данном X, т.е. равно кратности собственного значения 
Если обозначить их решения через
и соответствующие им значения 
через
то функции
будут одновременно решениями как уравнения (5), так и уравнения (9), т.е. они будут общими собственными функциями операторов 
Таким образом, теорема доказана. При доказательстве мы предполагали, что собственное значение К — конечной кратности, так что ему соответствует конечное число собственных функций, но теорема остается справедливой и в случае бесконечной кратности собственного значения.
Физический смысл доказанных теорем заключается в том, что коммутативность операторов служит выражением возможности одновременного измерения соответствующих величин и, обратно, некоммутативность их показывает невозможность точного одновременного их измерения.
Пример коммутативных операторов с общими собственными функциями был нами рассмотрен в § 4 этой главы.
