§ 9. Элементарный критерий применимости формул классической механики

Рассматривая в § 15 гл. III полуклассическое приближение к решению уравнения Шредингера, мы нашли приближенное выражение для волновой функции через функцию действия

Применим полученные результаты к случаю стационарного состояния частицы. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид

а уравнение Гамильтона — Якоби классической механики напишется

Если есть полный интеграл уравнения (2), содержащий три произвольные постоянные (включая постоянную энергии но не считая аддитивной постоянной), то мы можем положить в зависимости от граничных условий

или

где под корнем стоит детерминант из вторых производных от а величина а есть постоянная фаза. Переход от уравнения (1) волновой механики к уравнению (2) классической механики формально аналогичен переходу от волновой оптики к геометрической. Условие применимости приближенных формул (3) или (4) может быть выражено на языке волновой оптики (или волновой механики) следующим образом: относительное изменение показателя преломления (или длины волны) на расстояниях порядка длины волны должно быть весьма мало по сравнению с единицей. Если мы вместо длины волны А будем считать характернои длинои величину то это условие можно записать

так:

В квантовой механике есть длина волны де Бройля, равная

Но так как мы рассматриваем область, пограничную между квантовой и классической механикой, то критерий применимости формул (3) или (4) может быть формулирован и на языке классической механики. В самом деле, подставляя в условие (5) выражение (6) для , мы получим

Обозначая через абсолютную величину скорости частицы и через абсолютную величину ускорения, мы можем написать

Следовательно, условие (7) дает

или

Это и есть тот критерий, который мы хотели вывести. Помимо (деленной на постоянной Планка) в него входят только величины классической механики, притом лишь кинематические величины и масса частицы.

Заметим, что по известной формуле кинематики мы имеем

где абсолютная величина скорости, радиус кривизны траектории. Отсюда следует

Подставляя это в неравенство (10), мы получаем

или

где X по-прежнему обозначает де-бройлевскую длину волны. Таким образом, длина волны де Бройля должна быть весьма мала по сравнению с радиусом кривизны траектории.

Критерий, выражаемый формулами (10) и (11), допускает два различных применения. Во-первых, если мы будем считать скорость и ускорение частицы функциями точки [формулы (8) и (9)], то в той области пространства, где выполняется неравенство (11), выражение (3) или (4) будет давать хорошее приближение к шредингеровской волновой функции. Во-вторых, мы можем ввести в наше неравенство вместо скорости и ускорения некоторые средние их значения. Левая часть его будет представлять тогда некоторый постоянный параметр, порядок величины которого по сравнению с единицей будет характеризовать применимость классических уравнений.

В начальный период развития квантовой механики Бор сформулировал «принцип соответствия», согласно которому формулы квантовой механики должны переходить в классические формулы при больших значениях квантовых чисел. Поэтому мы должны ожидать, что упомянутый параметр [левая часть неравенства (11)] связан с характерным для данной задачи квантовым числом. Покажем на простейшем примере, что это действительно так и будет.

Рассмотрим движение гармонического вибратора в одном измерении. В этом случае скорость будет параллельна ускорению. В качестве параметров, характеризующих скорость и ускорение, мы возьмем средние квадратичные их значения.

Мы имеем

и, следовательно,

Поэтому

Но энергия вибратора выражается через его амплитуду по формуле

Следовательно, величина (18) равна

и неравенство, выражающее наш критерий, принимает для вибратора вид

Но, согласно формуле (16) § 8, энергия вибратора равна

где квантовое число вибратора в данном состоянии. Следовательно, наше условие (21) приводится к требованию, чтобы квантовое число было велико по сравнению с единицей.

В заключение следует отметить, что применимость классических уравнений не означает еще применимости классических представлений. Принципиальное отличие «вероятностного» способа описания явлений при помощи волновой функции от «абсолютного» способа описания при помощи классических величин и классических понятий — отличие, о котором мы говорили в начале части I этой книги — остается в силе и тогда, когда классические величины дают хорошее приближение для волновой функции.