§ 5. Собственные функции в нулевом приближении

Найдем коэффициенты унитарной подстановки (10) § 4. Подставляя (10) § 4 в (9) § 4 и пользуясь ортогональностью и нормировкой функций получим

где

Опуская второй значок и обозначая неизвестную величину буквой , можем написать (1) в виде

Эти уравнения могут быть истолкованы как уравнения для собственных функций оператора, представленного конечной матрицей Оператор этот — самосопряженный, так как матрица его эрмитова, как это видно из (2). Поэтому его собственные значения будут вещественны. Чтобы найти их и решить уравнение (3), можно применить известный, чисто алгебраический способ. Уравнения (3) представляют систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных Чтобы система эта имела решение, необходимо, чтобы определитель из коэффициентов при неизвестных

равнялся нулю. Уравнение имеет вещественных корней; каждому корню соответствует одно решение уравнений (3). Решения эти можно нормировать так, чтобы было

Из общих свойств линейных операторов следует, что решения

соответствующие двум различным корням

друг к другу ортогональны, т. е.

Корни могут быть и кратными: если, например, корень двукратный, то ему соответствуют два независимых решения уравнений (3). Как бы то ни было, будут ли корни кратными или простыми, мы всегда можем распорядиться так, чтобы все решений уравнений (3) были ортогональны и нормированы, так что

Но эти равенства означают, что матрица с элементами будет унитарной. В самом деле, полагая, как принято,

можем написать (7) в виде

Отсюда следует, как нетрудно доказать, что

Равенства (9) и (10), которые в матричной символике будут иметь вид

выражают свойство унитарности матрицы

Таким образом, мы нашли унитарную подстановку (10) § 4, коэффициенты которой удовлетворяют уравнениям (1), причем числа являются корнями уравнения

Из унитарности подстановки (10) § 4 вытекает, что функции будут ортогональны и нормированы, если таковыми были

Необходимо подчеркнуть, что функции получаются вполне однозначно лишь в том случае, если все корни определителя различны. Если же, например, корень двукратный, то вместо решений уравнения (3) мы могли бы взять также

где матрица, составленная из коэффициентов унитарна. Подстановке (13) соответствует замена

Таким образом, каждому кратному корню соответствует произвольная унитарная подстановка над функциями, относящимися к этому корню. Эти унитарные подстановки, которые остаются произвольными в первом приближении, вообще говоря, определяются при рассмотрении дальнейших приближений, т. е. уравнений (7) в § 4 и следующих.

Величины могут быть выражены через функции Если мы введем обозначение

то мы будем иметь, на основании (8) § 4,

откуда при получается искомое выражение для