§ 2. Операторы полного момента количества движения в сферических координатах

При рассмотрении задачи с центральной симметрией в теории Шредингера (гл. мы нашли выражения для операторов орбитального момента количества движения в сферических координатах связанных с прямоугольными координатами х, у, z соотношениями

Положив

мы имеем, согласно формулам [(2) § 3 гл. IV ч. II],

Собственные функции операторов квадрата момента количества движения и его составляющей по оси удовлетворяют в теории Шредингера уравнениям

и требованию однозначности на поверхности шара.

Переходя к полному моменту количества движения, включающему спин, мы введем по формулам (14) и (16) предыдущего параграфа операторы Будучи выражены через эти операторы принимают вид

Найдем общие собственные функции операторов Эти функции должны удовлетворять уравнениям

и требованию однозначности на поверхности шара.

Собственные значения рассматриваемых операторов мы уже установили: при данном квантовом числе I, отличном от нуля, число может принимать значения а при будет единственное значение Квантовое число то же, что и в теории Шредингера: оно принимает целые значения от до

Для упрощения выражений (6) и (7) для операторов применим каноническое преобразование

где

Если до преобразования было

то после преобразования будет

Заменяя в формуле (7) операторы на по формулам (14) и оператор на

получим преобразованный оператор в виде

где под и разумеются операторы (2).

Для дальнейшего упрощения вида оператора применим к нему последовательно два преобразования. Во-первых, положим

где

Мы получим

Во-вторых положим

после чего преобразованный оператор примет вид

значительно более простой, чем вид исходного оператора (7). Оператор же в результате преобразований (18) и (21) не изменился, так что мы имеем

Рассматривая как двухкомпонентную волновую функцию на поверхности шара [см. (9) § 1]

и полагая

мы можем принять в качестве условия нормировки соотношение

Тот же вид будет иметь условие нормировки для функций Для функции же отличающейся от множителем

условие нормировки будет

Требование однозначности будет относиться только к исходной волновой функции. Что касается преобразованных волновых функций, то вследствие того, что операторы преобразования (11) содержат линейно они будут менять знак при увеличении на следовательно, будут двузначными функциями точки в пространстве.

Уравнения (8) и (9) для собственных функций операторов напишутся теперь: