§ 12. Тонкая структура водородных линий
Выразим теперь энергию через квантовые числа. Мы имеем, на основании (5) и (14) § 11,
или, на основании (27) § 11,
Формула (1) носит название формулы Зоммерфельда.
Как мы уже отметили в конце § 7, теория Дирака дает здесь только положительные уровни. Наименьший уровень (основное состояние водорода) соответствует квантовым числам 
он равен
Весь точечный спектр располагается в промежутке
тогда как в промежутке
собственных значений энергии нет.
Для сравнения формулы Зоммерфельда с формулой Ридберга, полученной нами по теории Шредингера, мы перейдем к приближенным формулам. Извлекая приближенно квадратный корень в 
, мы будем иметь
Но, согласно (6) и (19) § 11,
тогда как формулы (28) и (29) § 11 дают
Пользуясь этими выражениями, получаем, с точностью до членов порядка 
Первый член дает постоянную энергию (релятивистскую энергию покоя). Второй член дает формулу Ридберга, а третий — релятивистскую поправку к ней. Эта поправка зависит не только от главного квантового числа 
но и от числа 
Поэтому уровень энергии водорода, который по теории Шредингера зависел только от и и не менялся при изменении азимутального квантового числа I, распадается здесь на ряд весьма близких друг к другу уровней, которые получаются, если в формуле (8) давать числу 
все допустимые значения (31) § 11. В результате получится наблюдаемая на опыте тонкая структура водородных линий. Заметим, что уровни энергии зависят только от модуля 
(т. е. от 
а не от 
так что, например, термы 
для водорода совпадают.
Найдем теперь разность тех уровней энергии, которые соответствуют дублету общей теории центрального поля (дублету щелочных металлов), т. е. величину
Формула (8) дает, если считать 
и положить 
С другой стороны, мы вычисляли ту же величину для общего случая центрального поля (формула (13) § 6). Применим эту формулу к водороду. Мы имеем
В этой формуле мы должны положить
так что
Пользуясь выражением (11) § 6 гл. 
для 
и вводя переменную интегрирования 
получим
Обозначим интеграл через 
Если мы положим 
его можно написать в виде
Этот интеграл мы уже вычисляли в § 4 гл. V ч. II [формулы (21) и (23)], он равен
Подстановка этого выражения в (14) дает
т.е. прежний результат (10).
