§ 6. Преобразование оператора P к цилиндрическим и сферическим координатам и выражение его через оператор M

Существенным шагом в переходе от уравнения Шредингера к уравнению Паули является введение оператора

зависящего от спина. Исследуем связь этого оператора с

оператором спиново-орбитального скаляра момента количества движения В § 5 мы уже установили антикоммутативность этих двух операторов [формула (13) § 5]. Для более подробного исследования удобнее всего преобразовать оба оператора к сферическим координатам. Для оператора такое преобразование уже сделано в § 2. Чтобы удобнее провести его для оператора мы разобьем его на два этапа: сперва преобразуем к цилиндрическим координатам, а затем — к сферическим.

Поскольку вектор-потенциал есть ковариантный вектор, величины

преобразуются по тем же формулам, как поэтому при выполнении преобразования достаточно рассматривать случай, когда вектор-потенциал отсутствует, и ввести его уже в окончательных формулах.

Введем цилиндрические координаты по формулам

Частные производные от функции по старым и по новым координатам связаны соотношениями

откуда

тогда как остается без изменения. Величину мы напишем в виде

разумея под матрицы (12) § 1. Подстановка выражений (4 в (5) дает

Это выражение может значительно упроститься после надлежащим образом выбранного канонического преобразования

Такое преобразование уже было нами выполнено в § 2 при изучении операторов момента количества движения. Мы ввели там матрицы

при помощи которых коэффициенты при в выражении (6) могут быть представлены в виде

(последние формулы эквивалентны формулам (14) § 2). Применяя преобразование к оператору (6) и полагая

мы можем написать

Так как матрица не содержит координат она коммутирует с так что эти операторы остаются без изменения. Оператор же уже был вычислен нами в § 2 [формула (16) § 2]. Используя этот результат, мы будем иметь

и, следовательно, преобразованный к цилиндрическим координатам оператор будет иметь вид

или, после замены на

Чтобы принять во внимание вектор-потенциал, достаточно заменить в на

где суть обобщенные составляюпие вектор-потенциала, вычисляемые по формуле

Найдем теперь вид оператора в сферических координатах. Переход от цилиндрических координат к сферическим

совершается по формулам, аналогичным формулам перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим. Подобно (4) и , мы имеем теперь

откуда

Подставляя эти значения в формулу (14), получаем для оператора выражение

Для упрощения этого выражения произведем каноническое преобразование, аналогичное преобразованию (7), а именно,

где матрицы равны

Матричные коэффициенты в первых трех членах выражения (19) можно представить в виде

а коэффициент в последнем члене в виде

Вычисляя преобразованный оператор получаем отсюда

где

Ввиду того, что матрица содержит только координату мы имеем

тогда как

Подставляя (25) и (25 в формулу (23), получаем следующее окончательное выражение для преобразованного оператора Р:

Заметим, что оператор в цилиндрических и в сферических координатах принимает несколько более простой вид, если произвести подстановку

Подстановкам (27) и (28) соответствуют преобразования операторов вида

и

Выполняя эти преобразования, получаем для цилиндрических координат

и для сферических координат

Выражения для вероятности того, что в результате измерения координат электрона получатся значения, лежащие в данных пределах, также несколько упрощаются от подстановок (27) и (28), а именно, вероятность неравенств

будет

а вероятность неравенств

будет (с новым значением )

Выразим исследованный здесь оператор через оператор спиново-орбитального скаляра момента количества движения Исследование удобнее всего проводить в сферических координатах. Преобразования, которым были подвергнуты оба оператора, одинаковы: матрицы преобразования 5 и одни и те же для обоих операторов (см. формулы (11) § 2 и (8) § 6 для 5 и формулы (18) § 2 и (21) § 6 для . Поэтому мы можем работать с преобразованными операторами которые имеют вид

Легко видеть, что

Но по свойствам матриц оператор антикоммутирует с Поэтому будет также справедливо равенство

В последних формулах матрицу можно толковать как радиальную составляющую спина. В самом деле, если мы положим

то мы будем иметь

так что после примененных нами преобразований матрица переходит в Поэтому формулам (38) и (39) соответствуют до преобразования соотношения

которые можно проверить и непосредственно.

Согласно формуле (13) § 5, операторы (так же как и антикоммутируют друг с другом. Это легко

проверить. В самом деле, умножая выражение (38) на слева, а (39) справа и складывая, получаем

В заключение приведем здесь выражение для оператора в криволинейных ортогональных координатах. Если в координатах квадрат элемента дуги равен

то оператор имеет вид

где через обозначены операторы

При наличии электромагнитного полянужно в этом выражении заменить на

где суть ковариантные составляющие вектор-потенциала, определяемые по формуле

Нетрудно проверить, что в частных случаях цилиндрических и сферических координат выражение (45) переходит соответственно в (14) и в (26).