§ 6. Преобразование Лоренца
Мы займемся теперь доказательством инвариантности волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца и исследованием геометрических свойств функций 
Положим
и введем четыре числа
так, чтобы можно было написать квадрат четырехмерного расстояния (интервала) в виде
Напишем преобразование Лоренца в виде
где 
вещественные числа, удовлетворяющие условиям
которые вытекают из того, что преобразование (4) должно оставлять 
инвариантным. В силу этих условий решение уравнений (4) относительно 
дает
а отсюда в свою очередь вытекают уравнения
Умножая волновое уравнение (1) § 5 на 
напишем его в виде
или
если мы будем разуметь под 
единичную матрицу. Сделаем теперь замену переменных (6). Имеем
Поэтому
Если нам удастся найти такую (вообще говоря, не унитарную) матрицу 
чтобы было
то уравнение (10) можно будет написать в виде
а затем, полагая
и умножая (13) слева на 
(т.е. производя над четырьмя уравнениями (13) подстановку, обратную 
мы получим
т.е. уравнение того же вида, как исходное (9), с прежними матрицами ось, но с новыми независимыми переменными 
и с новыми функциями 
Таким образом, будет доказано, что если сопровождать преобразование Лоренца подстановкой (14) над функциями 
то волновое уравнение сохранит свой вид. Другими словами, будет доказана инвариантность волнового уравнения по отношению к преобразованию Лоренца.
