§ 11. Атом водорода. Радиальные функции

Для атома водорода, в котором потенциальная энергия равна

уравнения (3) § 6 для радиальных функций, допускают точное решение. В данном случае эти уравнения имеют вид

Мы ограничимся рассмотрением точечного спектра, когда Положим

причем будем считать а положительным. Имея в виду асимптотические формулы (18) § 7, введем в качестве новой независимой переменной величину

и положим

Символом мы обозначим Зоммерфельдовскую постоянную тонкой структуры

с которой мы уже встречались.

После замены переменных уравнения (2) примут вид

Угол играет здесь роль параметра: его нужно определить так, чтобы уравнения (7) имели решения, конечные и непрерывные во всем промежутке и обращающиеся в нуль при

Введем теперь по формулам

две новые функции эти функции выражаются через следующим образом:

Умножая первое уравнение (7) на второе на складывая, получим

Из этих уравнений мы можем исключить одну из функций или результатом исключения будет соответственно

или

Эти уравнения того же типа, как уравнение

которое было нами подробно исследовано в главе, посвященной нерелятивистской задаче об электроне в Кулоновом поле (§§ 3, 4 и 5 гл. Чтобы получить совпадение уравнения (11) для с уравнением (12) для у, достаточно положить

Для уравнения параметр будет иметь то же значение, а число будет на единицу меньше. Следовательно, собственные значения параметра равны

а собственными функциями будут

Так как связаны системой уравнений (10), отношение постоянных будет вполне определенным.

Решая первое из уравнений (10) относительно будем иметь

Но по свойству полиномов выведенному нами ранее, мы имеем

Кроме того, из (13) следует

Поэтому функция равна

Тем самым постоянная С в выражена через С.

Постоянную С нужно определить из условия нормировки. Обозначим, как мы это делали при изложении теории

Шредингера, буквой а атомную единицу длины

и буквой расстояние от ядра в атомных единицах, т. е. отношение

Постоянная а формулы (3) будет равна

так что переменная х связана с соотношение.

В качестве условия нормировки возьмем

или

Выражая через получим

Подставляя (24) в (23 и принимая во внимание, что друг к другу ортогональны, мы можем написать условие нормировки в виде

Вычисляя отсюда значение постоянной С, получим

или, на основании (17),

Отсюда, вводя функции

будем иметь

Величину удобно обозначать через

Квадрат ее равен

так что величина мало отличается от целого числа

которое можно толковать как главное квантовое число.

Вводя в выражения (26) и (26, можем написать их в виде

При данном главном квантовом числе число может принимать значения

всего значение. Число не может равняться так как тогда нижний значок стал бы отрицательным; значение же возможно, так как в этом случае, согласно (29), будет в силу (28), так что множитель при обращается в нуль.

Число близко связано с радиальным квантовым числом теории Шредингера; а именно, на основании равенств

и связи между мы имеем

Таким образом, мы нашли собственные функции, соответствующие точечному спектру. Не представляет особого труда найти решение наших уравнений для значения соответствующего границе между точечным и сплошным спектром, а также для сплошного спектра, но на этом мы останавливаться не будем.