§ 6. Первое и последующие приближения
Обратимся теперь к решению уравнения (7) в § 4. Правая часть его удовлетворяет, при нашем выборе условию, необходимому для существования решения. Разложение ее в ряд напишется
где мы воспользовались обозначением (15) § 5 и положили
Штрих у знака суммы в (1) означает, что следует опустить члены, для которых 
Решая уравнение (7) в § 4 по способу § 2, получим
Здесь последняя сумма представляет решение однородного уравнения. Постоянные 
в ней неизвестны и подлежат определению из второго приближения. Переходя теперь к рассмотрению уравнения (7в) § 4, мы должны прежде всего позаботиться о том, чтобы правая часть его была ортогональна ко всем решениям однородного уравнения. Это условие напишется
Подставляя сюда выражение (3) для 
и обозначая для краткости через 
сумму
можем уравнение (4) написать в виде
причем мы воспользовались равенствами (16) § 5. Для 
это равенство приводится к
Если все числа 
т. е. все корни определителя 
§ 5, различны, то из (7) можно определить все 
с неравными значками, а именно,
Если же некоторые корни совпадают, например 
то соответствующее 
должно равняться нулю. Этому условию можно удовлетворить, выбрав надлежащим образом унитарную подстановку (14) § 5, которая оставалась произвольной. В самом деле, если заменить 
и их комбинациями 
и то величина 
заменится на
Это выражение должно равняться, согласно (6), 
т. е.
Отсюда, умножая на 
и суммируя по 
получаем
Мы пришли к уравнениям того же типа, как уравнения (1) § 5, и можем по изложенному в § 5 способу найти матрицу 
Может оказаться, что матрица 
по тем же причинам, как 
§ 5, определяется неоднозначно; тогда для полного определения ее пришлось бы перейти к высшим приближениям.
Предположим теперь, что матрица 
найдена и что функции 
надлежащим образом «исправлены», т. е. заменены, в случае надобности, их линейными комбинациями. Тогда уравнение (7) для 
будет выполняться тождественно, так что соответствующее 
останется произвольным, а для 
величина 
определяется по формуле (8). Согласно уравнению (6) для 
величина 
также останется произвольной и может быть положена равной нулю; тогда функция 
будет, с точностью до величин порядка 
нормированной. Наконец, поправка второго порядка к энергии, т. е. величина 
будет равна
где под 
мы должны, конечно, разуметь «исправленное» 
которое мы обозначили через 
В результате мы получим первое приближение для собственной функции 
и второе приближение для энергии. Таким же путем мы могли бы получить и высшие приближения, но ввиду сложности формул они не представляют практического интереса.
