§ 10. Пример канонического преобразования

В качестве примера канонического преобразования рассмотрим преобразование операторов для координаты х и количества движения Мы знаем, что собственные функции оператора в переменных х

суть

Посмотрим, какой вид имеет оператор х в переменных По определению этот оператор переводит функцию представляющую коэффициент разложения в интеграл Фурье

в такую функцию чтобы выполнялось соотношение

Но мы имеем, интегрируя по частям,

Следовательно,

так что оператор х в переменных есть

Это согласуется с видом скобок Пуассона

так как мы имеем

Собственные функции оператора х в переменных будут

Здесь аргументом является а параметром х, тогда как в было параметром, а х аргументом. Функция

от переменной х описывала такое состояние электрона, в котором количество движения имело определенное значение Состояние же с определенной координатой х описывалось в ременных х собственным дифференциалом

где

С другой стороны, в переменных состояние с определенной координатой х описывается функцией

а состояние с определенным количеством движения собственным дифференциалом

Где такая же функция от как от Нетрудно видеть, что переход от одного представления к другому происходит, как и в общем случае, при помощи интеграла Фурье, ибо мы имеем для состояния с определенной координатой

и для состояния с определенным количеством движения