§ 15. Полуклассическое приближение

В предельном случае, когда постоянную Планка можно считать малой по сравнению с встречающимися в данной задаче величинами той же размерности, можно приближенно выразить, решение уравнения Шредингера через решение уравнения Гамильтона — Якоби.

Рассмотрим уравнение Шредингера

где есть заданная функция от координат и будет иметь его решение в виде

где есть формальный ряд по возрастающим степеням Подстановка выражения (2) в уравнение (1) дает

Если мы пренебрежем здесь членом, пропорциональным и приравняем нулю член, не зависящий от и член, пропорцио нальный первой степени мы получим два уравнения

Во втором из них мы заменили амплитуду ее приближенным значением соответствующим

Уравнение (4) есть уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Уравнение же (5) приводится к уравнению неразрывности классической гидродинамики. В самом деле, умножим его на и положим

Мы получим

или

классической механике есть количество движения, есть скорость; следовательно, уравнение (8) может быть написано в виде

т. е. в виде уравнения неразрывности.

Решение уравнения Гамильтона — Якоби принято называть функцией действия. Решение это можно получить, введя в рассмотрение функцию Лагранжа

и вычислив интеграл

вдоль траектории частицы (интеграл действия). Для вычисления интеграла действия можно выразить сперва функцию Лагранжа через время и постоянные интегрирования (их будет шесть, так как уравнения Лагранжа представляют три уравнения второго лорядка). По выполнении интегрирования в можно выразить результат через начальные и конечные значения координат (и через время). Интеграл действия будет тогда удовлетворять уравнению Гамильтона — Якоби.

Полученное таким путем решение уравнения Гамильтона — Якоби не единственно. Существуют и другие решения этого уравнения, зависящие не от начального значения координат, а от других постоянных интегрирования Кроме того, можно, очевидно, использовать вместо прямоугольных декартовых координат какие-либо другие координаты. В дальнейшем мы ограничимся случаем прямоугольных координат.

Пусть

есть решение уравнения Гамильтона — Якоби. Из классической механики известно, что

где составляющие количества движения, энергия (функция Гамильтона). Кроме того, производные от по постоянным будут равны новым постоянным, которые мы обозначим через так что мы будем иметь

В частном случае, когда в качестве взяты начальные значения координат, постоянные будут начальными значениями импульса, взятыми с обратным знаком.

Решим теперь уравнение (8) или (9) в предположении, что решение (12) уравнения (4) известно. Докажем, что в качестве можно взять детерминант

(или, поскольку положительно, его абсолютное значение).

Дифференцируя уравнение (4) по содержащимся в функции 5 постоянным получим

где . Пользуясь соотношениями

мы можем переписать уравнения (16) в виде

. Эти три уравнения могут быть решены относительно «неизвестных» причем определитель из коэффициентов при «неизвестных» как раз равен величине [формула (15)].

Для упрощения дальнейших формул воспользуемся обозначением (14). Тогда уравнения (18) напишутся

(эти соотношения показывают, что величины во время движения не меняются, о чем мы уже говорили выше). Определитель будет равен

а величины будут равны соответственно

Подставляя найденные значения величин в выражение

можно убедиться, что все члены сокращаются, так что это выра жение тождественно равно нулю. Таким образом, уравнение неразрывности (9) выполняется, а следовательно, выполняется и уравнение (5) для функции связанной с соотношением (6).

Проиллюстрируем изложенную в этом параграфе теорию на случае свободного движения материальной точки. Так как при свободном движении скорость постоянна, а потенциальная энергия равна нулю, мы будем иметь

(мы положили ). В качестве постоянных интегрирования мы возьмем начальные значения координат х, у, z. Мы будем тогда иметь

и, следовательно,

Определитель, составленный из вторых производных от

(вторые производные по разным координатам равны нулю) будет величиной, обратно пропорциональной так что мы можем положить

и, следовательно, приближенное значение функции будет

Подстановка этого выражения в уравнение. Шредингера пока зывает, что оно будет даже не приближенном, а точным решением. (В этом можно убедиться и без вычислений, если воспользоваться формулой (3) и иметь в виду, что при где имеет вид (29), будет