§ 18. Замечания о принципе наложения и о вероятностном толковании волновой функции

Мы рассмотрели в §§ 14, 15 и 16 задачу о столкновении частицы с тяжелым ядром атома. Задача эта представляет особый интерес ввиду того, что дает наглядное представление о физическом смысле волновой функции.

Как мы знаем, волновая функция служит для описания состояния одной частицы. Состояние может быть таково, что данная физическая величина может не иметь определенного значения. Пусть, например, волновая функция свободной частицы равна

В этом состоянии энергия равна

но направление движения не имеет определенного значения; если поставить опыт, позволяющий констатировать направление движения (например, при помощи определенным образом ориентированной диафрагмы с отверстием) и повторять его много раз, то окажется, что существует вероятность обнаружить частицу движущейся вдоль оси х со скоростью а также вероятность обнаружить частицу движущейся вдоль оси у с той же самой скоростью. Иначе говоря, в состоянии, описываемом волновой функцией (1), частица имеет потенциальную

возможность быть обнаруженной движущейся в том или в ином из указанных двух направлений. Разумеется, это означает совсем другое состояние, чем то, которое соответствовало бы движению по равнодействующей; если бы частица двигалась по биссектрисе угла между осями х и у со скоростью, соответствующей энергии (2), то ее волновая функция равнялась бы

а это выражение совершенно отлично от (1). Возможность состояний, в которых данная величина не имеет определенного значения, и которые получаются наложением состояний с определенным значением этой величины (принцип наложения состояний), является самой характерной чертой квантовой механики, коренным образом отличающей ее от механики классической. Описать такого рода «смешанное» состояние одной частицы на языке классической теории совершенно невозможно; необходимость же принять принцип наложения состояний вытекает хотя бы из того факта, что лишь на основании этого принципа можно вывести из общего источника двойственный характер света и вещества, проявляющихся как в виде волн, так и в виде частиц. В первоначальной форме волновой механики волновая функция толковалась как некоторая волна в пространстве, соответствующая собранию частиц, способных претерпевать дифракцию (волна де Бройля). На этой основе истолковывался для волновой функции принцип наложения. Так, например, в формуле (1) член

соответствовал волне, изображавшей поток частиц, движущихся в направлении оси х со скоростью а второй член, как такой же поток, направленный по оси у. Вся волновая функция (1) представляла бы тогда наложение этих двух потоков; плотности их относятся друг к другу, как квадраты модулей амплитуд, т. е. как

Толкование волновой функции по де Бройлю, хотя и обладает наглядностью, но является, строго говоря, неточным: «потоки» могут интерферировать между собой и их наложение следует понимать как наложение волновых функций, их представляющих. Кроме того, мы знаем, что волновая функция описывает состояние одной частицы (а не потока частиц) и должна быть истолкована на основе понятия потенциальной возможности для тех или иных результатов опытов (измерений) над частицей. Об этом мы уже говорили в § 6 гл. IV ч. I. Мы выяснили там, что элементом статистического коллектива не может быть

квантовый объект. Поэтому не имеет смысла вводить в рассмотрение «ансамбли» из таких объектов, понимаемые в смысле обычной статистической физики. Если уже считать, что само понятие вероятности предполагает наличие некоторого ансамбля, то таковым может быть только ансамбль из результатов определенным образом поставленных опытов.

Вернемся к волновой функции вида (1). Рассматривая ее с точки зрения понятия потенциальной возможности, мы можем составить выражения для вероятностей обнаружить частицу движущейся в направлении оси х и в направлении оси у, если она первоначально находилась в состоянии (1). Вероятности эти будут пропорциональны квадратам модулей амплитуд и их отношение будет равно Этот результат согласуется с тем, какой получается из рассмотрения волн де Бройля как описывающих потоки частиц, если понимать слово «потока» не слишком буквально и допускать возможность взаимного уничтожения этих потоков в результате интерференции волн, их образующих.