§ 6. Симметрия оператора энергии водородоподобного атома

В предыдущем параграфе мы, следуя Бору, характеризовали каждую атомную оболочку двумя квантовыми числами и При данном число I может принимать значения всего значений. Совокупность всех электронных оболочек, принадлежащих данному образует одну «большую оболочку». Такая «большая» оболочка обладает в атоме особой устойчивостью. В одновалентных атомах лития, натрия и меди полностью заполнены соответственно одна, две и три «большие» оболочки. Большую оболочку удобно описывать при помощи волновых функций водородного типа, соответствующих

некоторому эффективному заряду ядра, значение которого можно определить из вариационного начала.

Обозначим через истинный заряд ядра и через эффективный заряд для большой оболочки с квантовым числом Вместо эффективного заряда удобно рассматривать величину представляющую среднее квадратичное количество движения электрона в большой оболочке номер (в атомных единицах).

Описание атомных оболочек при помощи аналитических функций водородного типа позволяет находить простые аналитические выражения для различных функций, характеризующих свойства атома. Например, функция распределения количества движения электронов внутри оболочки, нормированная согласно условию

оказывается равной

Помимо применений к теории строения электронных оболочек теория водородных функций, принадлежащих данному квантовому числу , может иметь применение в теории явления Комптона на связанных электронах и в других аналогичных задачах, в которых приходится иметь дело с функциями, принадлежащими сплошному спектру. Для атома водорода мы имеем, в атомных единицах,

Для сплошного спектра энергия положительна и выражение (3) получается чисто мнимым. Это, однако, не исключает применения теории водородных функций точечного спектра в тех случаях, когда получаемые при их помощи соотношения формулируются при помощи аналитических функций от В таких соотношениях можно формально переходить от точечного спектра к сплошному, придавая величине чисто мнимые значения. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем случаем точечного спектра.

Чтобы написать уравнение Шредингера для водородоподобного атома в пространстве импульсов, нужно прежде всего найти, во что переходит в пространстве импульсов оператор умножения на Волновые функции в пространстве координат и в пространстве импульсов связаны соотношением

Нам нужно найти вид оператора который переводит функцию в функцию представимую в виде

Но мы имеем

где через обозначен элемент объема в пространстве импульсов. Таким образом, оператор, который в пространстве координат имеет вид умножения на преобразуется в пространстве импульсов в интегральный оператор

Поэтому уравнение Шредингера в поле с Кулоновой потенциальной энергией будет в пространстве импульсов интегральным уравнением вида

Так как мы рассматриваем точечный спектр, для которого энергия отрицательна, то можно ввести средний квадратичный импульс

Деленные на составляющие вектора количества движения мы будем рассматривать как прямоугольные координаты на гиперплоскости, представляющей стереографическую проекцию шара радиуса единицы в четырехмерном евклидовом пространстве. Прямоугольные координаты некоторой точки на шаре будут

причем

Углы а, представляют сферические координаты на гиперсфере. Вместе с тем углы являются обыкновенными сферическими углами, характеризующими направление количества движения. Элемент поверхности на гиперсфере равен

а полная поверхность гиперсферы равна Введем вместо функцию

для которой условие нормировки имеет вид

Если мы положим для краткости

и перейдем к новым переменным, то уравнение Шредингера (8) примет вид

Здесь есть длина хорды, а — длина дуги большого круга, соединяющей точки на четырехмерном шаре, так что

Уравнение (16) представляет собой не что иное, как интегральное уравнение для шаровых функций четырехмерного шара. Собственными значениями будут целые числа а собственными функциями будут однородные гармонические полиномы степени от т. е. функции вида

где есть решение уравнения Лапласа в четырехмерном пространстве

Как видно из (15), целое число есть главное квантовое число.

Таким образом, теория атома водорода оказывается связанной с четырехмерной теорией потенциала. Связь эта позволяет легко вывести все свойства водородных функций и, в частности, установить для них теорему сложения, справедливую не только для целых действительных значений (точечный спектр), но и для комплексных (сплошной спектр).

Наиболее существенным следствием наличия такой связи является установление группы преобразований, допускаемых уравнением Шредингера для атома водорода. Очевидно, что уравнение (17) сохранит свой вид, если произвести над переменными ортогональную подстановку, т. е. если подвергнуть гиперсферу произвольному четырехмерному вращению. Отсюда следует, что и исходное уравнение Шредингера обладает не только обычной сферической симметрией, но и более высокой степенью симметрии, соответствующей четырехмерным вращениям. Этим объясняется тот давно известный факт, что уровни энергии для водорода зависят только от главного квантового числа Использование такой более широкой группы преобразований уравнения Шредингера и позволяет получить те результаты, о которых мы говорили в начале этого параграфа. На подробной формулировке этих результатов, а также на их выводе мы здесь останавливаться не можем.