§ 4. Матрицы Дирака

Как будет видно из дальнейшего, операторы можно рассматривать как подстановки над четырьмя функциями подобно тому, как матрицы Паули были подстановками над двумя функциями. Таким образом, объектом действия операторов будет совокупность четырех функций, а самые операторы можно представить в виде матриц, составленных из коэффициентов подстановок.

Совокупность функций мы часто будем обозначать одним символом а подстановку

будем писать сокращенно в виде

где, следовательно, а есть матрица

Выразим операторы удовлетворяющие соотношениям (9) § 3, через операторы, аналогичные матрицам, рассмотренным в главе, посвященной теории Паули.

Построим из матриц шесть матриц: во-первых, три матрицы

и, во-вторых, три матрицы

Легко проверить, что матрицы будут удовлетворять тем же соотношениям, как и матрицы Паули, а именно,

Квадрат каждой из них будет равен единице:

Подобным же соотношениям будут удовлетворять и матрицы Мы будем иметь

а также

Произведения матриц на матрицы а будут равны

далее,

и, наконец,

Таким образом, каждая из матриц коммутирует с каждой из матриц а, и мы можем в известном смысле сказать, что матрицы и о относятся к разным степеням свободы электрона.

Пользуясь выражениями для матриц а, через мы можем написать оператор энергии (7) §3 в виде

Заметим, что к четырем матрицам ось удовлетворяющим соотношениям (9) § 3, мы могли бы присоединить пятую, положив эта матрица будет антикоммутировать с оператором энергии (13).

Займемся теперь построением матриц с четырьмя строками и столбцами, обладающих формулированными выше общими свойствами. Для этого рассмотрим сперва три матрицы с двумя строками и столбцами, уже встречавшиеся нам в теории Паули. Обозначая их теперь через мы будем иметь

Предположим, что подстановки

производятся не над одной, а над двумя парами чисел и одновременно. Эти две пары чисел можно рассматривать

как одну четверку чисел причем сопоставление чисел с числами можно сделать различными способами.

Можно положить, например,

или

В первом случае матрицы, соответствующие нашим подстановкам, напишутся в виде

а во втором случае в виде

Очевидно, что подстановки взятые в отдельности, и подстановки в отдельности удовлетворяют тем же соотношениям, что и подстановки (15) над двумя функциями, а именно,

С другой стороны, можно проверить, что каждая из подстановок а коммутирует с каждой из подстановок так что

Каждая из матриц а также их произведения (22) имеют два двукратных собственных значения +1 и —1.

Три матрицы а и три матрицы и девять матриц образуют вместе с единичной матрицей систему 16 матриц, которую можно назвать полной в том смысле, что всякую матрицу с четырьмя строками и столбцами, т.е. с 16 элементами, можно выразить в виде линейной комбинации этих 16 матриц с численными коэффициентами.

В частности, мы можем выразить через матрицы, входящие в уравнение Дирака, и связанные с ними матрицы Это можно сделать различным образом, так что матрицы, имеющие данный физический смысл, могут иметь различную математическую форму. В литературе чаще всего употребляется представление, введенное Дираком, который положил

Согласно формулам (15) и (10), соответствующие матрицы будут иметь вид

(мы снабдили эти матрицы штрихом, чтобы отличить их от тех, которыми мы будем пользоваться в "дальнейшем).

Более удобным в некоторых отношениях является следующий выбор матриц:

или в явной форме

Отсюда получаются для матриц следующие значения:

и в явной форме