§ 4. Обобщенные шаровые функции

Для нахождения общих собственных функций операторов необходимо преобразовать их к сферическим координатам. Это преобразование мы будем сопровождать каноническим преобразованием четырехкомпонентной волновой функции, аналогичным тому, какое применялось в § 2 ч. III к двухкомпонентной волновой функции теории Паули.

Четырехрядные матрицы соответствующие нашему выбору матриц Дирака, мы будем обозначать через Согласно формулам (26) § 4 гл. I ч. V, мы имеем

Чтобы выразить операторы в сферических координатах, мы можем воспользоваться формулами, выведенными в § 2 ч. III на основе теории Паули, с той только разницей, что мы должны заменить фигурирующие в них матрицы а на Выпишем главнейшие из этих формул вновь (в новых обозначениях).

В сферических координатах связанных с прямоугольными обычными соотношениями

операторы имеют вид

где, как обычно, означают операторы

(впрочем, оператор в выражения для не входит).

Произведем каноническое преобразование операторов и функций по формулам, аналогичным (7) и (8) § 6 ч. III, а именно,

где

После преобразования мы будем иметь

Применим затем преобразование, аналогичное (21) § 6 ч. III, а именно,

где

Мы получим, как и в теории Паули,

Наконец, полагая

будем иметь

Согласно (7) и (11), матрицы канонического преобразования содержат только операторы но не содержат Поэтому вид этих последних операторов при преобразовании не меняется. В частности, мы имеем, согласно формуле (27) § 4 гл. I,

После умножения на уравнение для собственных функций оператора можно написать в виде

Соответствующая уравнению (16) система уравнений для четырех компонент функции будет иметь вид

Если выразить операторы через производные и изменить знак в обеих частях некоторых из этих уравнений, мы можем написать их в виде двух одинаковых систем уравнений для двух функций каждая, а именно,

и

Уравнения (18 отличаются от (18) только знаком при

Такие уравнения уже встречались нам в теории Паули при рассмотрении шаровых функций со спином (§ 3 ч. III). Мы их писали там в виде

Решением наших уравнений (18) и (18 будут функции

где функции уже от не зависят. Зависимость их от определяется уравнением для собственных функций оператора энергии.