§ 8. Описание состояния валентного электрона. Квантовые числа

Мы видели, что состояние электрона, движущегося в поле с центральной симметрией (валентного электрона в атоме), описывается волновой функцией вида

для точечного спектра и

для сплошного спектра. Радиальные функции предполагаются здесь нормированными так, чтобы было

для точечного и

для сплошного спектра.

Шаровая функция выражается, согласно результатам §§ 4 и 6, следующим образом:

причем нормировка здесь такова, что

Функции (1) и (2) суть общие собственные функции следующих операторов: оператора энергии квадрата момента количества движения и составляющей его по оси Поэтому в состоянии, описываемом функциями (1) и (2), эти три величины имеют определенные значения, а именно,

Таким образом, состояние характеризуется тремя квантовыми числами или же одним непрерывным параметром и двумя квантовыми числами Квантовое число называется главным квантовым числом: его принято определять как сумму

где есть число нулей функции Это число называется радиальным, а число I азимутальным квантовым числом. Такое определение возможно на основании того, что собственная функция дифференциального оператора типа (1) § 7, принадлежащая точечному спектру, характеризуется числом ее нулей. Так как не может быть отрицательным, то главное квантовое число превышает азимутальное по крайней мере на единицу.

Так как квантовое число не входит в уравнение для радиальных функций, то уровни энергии от него не зависят, так что по значению терма нельзя судить о величине Этого и следовало ожидать, так как есть значение составляющей вектора момента количества движения по оси а в случае центральной симметрии направление оси ничем физически не выделяется. Если же имеется магнитное поле, направленное по оси то уровни энергии будут зависеть также и от поэтому число называется магнитным квантовым числом.

Для Кулонова поля энергия зависит, как мы увидим в следующей главе, только от одного квантового числа

Для общего центрального поля каждому уровню энергии соответствует собственных функций, которые получаются, если в выражении (1) числу давать значения

Поэтому кратность уровня будет равна

Для Кулонова поля кратность уровня будет больше, так как при данном азимутальное квантовое число I может быть равным

а сумма кратностей этих значений равна

В спектроскопии принято обозначать термы, имеющие одно и то же но разные I, буквами д. Так, например,

Заметим, что каждый из этих термов получается по теории Шредингера простым, тогда как на опыте все термы, кроме термов (соответствующих оказываются двойными, т.е. состоят из двух весьма близких отдельных термов (тонкая структура). Как мы увидим ниже (в части V этой книги), объяснение этого явления возможно на основании теории Дирака.