§ 4. Некоторые свойства обобщенных полиномов Лагерра

Обобщенные полиномы Лагерра, представляющие решения дифференциального уравнения

могут быть представлены в виде

Для доказательства этой формулы умножим уравнение (22 § 3 на и напишем результат в виде

По формуле Лейбница (Leibnitz) для производной от произведения двух функций это выражение равно

что и требовалось доказать.

По теореме Коши мы можем представить это выражение в виде

Вводя здесь новую переменную интегрирования

получим

Но это выражение по той же теореме Коши равно

Отсюда получаем разложение в ряд Тейлора

Эта формула удобна для вывода различных соотношений между функциями Умножая ее на получим

С другой стороны, заменяя в на получим в левой части то же выражение. Сравнивая коэффициенты при степенях будем иметь

Эта формула позволяет выразить функции с разными значками отличающимися друг от друга на целое число, через функции с одним и тем же (наибольшим) значком.

Дифференцируя обе части (6) по х, получим, путем аналогичных рассуждений,

Дифференцируя (7) по и выражая обе части в виде рядов, будем иметь

или после замены на

Отсюда при помощи (8) выводим

Мы получили рекуррентную формулу, связывающую три последовательные полинома с одним и тем же верхним значком. Из (8), (9) и (10) нетрудно вывести соотношения

Дифференцируя (12 по х и пользуясь (9), получаем для дифференциальное уравнение (1).

Из тех же формул легко выводятся соотношения

которые также приводят к дифференциальному уравнению (1). В дальнейшем нам понадобится вычислять интегралы вида

Для этого удобно преобразовать интеграл (14), пользуясь выражением (2) и интегрируя раз по частям. Мы будем иметь

Полагая здесь

получим

Более общий интеграл

получается, при целом, дифференцированием выражения (16) по параметру а.

Положим в (14) и получим

Если полином степени ниже то интеграл (14) равен нулю. Пользуясь этим замечанием, найдем интегралы (14) для случаев

где невыписанные члены представляют полиномы степени ниже Мы будем иметь

(см. скан)

Покажем, что полином имеет ровно положительных корней, так что все его корни вещественны и положительны. Если бы число гаких корней было меньше например равно то, обозначив их через мы могли бы составить функцию

произведение которой на оставалось бы, при изменении х от 0 до все время одного знака, так что интеграл (14) был бы отличен от нуля. Но этого не может быть, так как есть полином степени ниже и по формуле (15) интеграл (14) должен равняться нулю. Следовательно, число положительных корней не может быть меньше Так как оно не может быть и больше то оно должно быть равно