§ 8. Зависимость матриц от времени. Сравнение с классической теорией

Рассмотренное в § 6 каноническое преобразование не содержало времени и давало поэтому такое представление операторов, в котором математический вид их не зависит от времени (см. § 13 гл. III ч. I). Перейдем теперь к другому представлению операторов, в котором зависимость от времени перенесена, так сказать, на самый оператор. Для этого нужно найти унитарный оператор который бы переводил начальное состояние в состояние в момент времени

Тогда вид оператора как функции от времени получится по формуле

Оператор принимает наиболее простой вид, если за независимую переменную взять энергию. В этих переменных волновое уравнение

имеет вид

или

(Мы перешли здесь от условных единиц, которыми мы пользовались в § 6, к абсолютным единицам.) Решение этого уравнения есть

Таким образом, применение оператора сводится к умножению на показательный множитель Оператор может быть, следовательно, представлен в виде диагональной матрицы

с элементами

Вычисляя по формуле (2) Гейзенбергову матрицу получим

или

так что матрица будет иметь вид

Аналогично получим для

Если бы мы по формуле (2) составили оператор

то мы убедились бы, что его матрица совпадает с матрицей для следовательно, не зависит от времени. Этого и следовало ожидать, так как энергия вибратора остается постоянной.

Гейзенберговы матрицы удовлетворяют, как нетрудно проверить, уравнениям движения

Здесь под и нужно разуметь матрицы, элементы которых суть производные от элементов матриц Уравнения (12) совпадают по форме с классическими.

Элементы матриц напоминают члены рядов Фурье для соответствующих классических величин. Чтобы проследить ближе эту аналогию, посмотрим, какая величина играет роль классической амплитуды.

Вероятность получить для координаты значение, лежащее между когда вибратор находится в состоянии выражается формулой

Из асимптотического выражения (22) § 5 видно, что при больших функция имеет примерно характер синусоиды, когда меняется в промежутке от до При этом полином обращается в нуль ровно раз. Вне этого промежутка функция начинает быстро убывать вследствие преобладания показательного множителя. Отсюда следует, что плотность вероятности заметно отлична от нуля только в промежутке — так что величину

можно считать «амплитудой» вибратора. В абсолютных единицах амплитуда будет

С другой стороны, энергия вибратора равна

Исключая из (15) и получаем

так что связь между амплитудой и энергией здесь та же, что в классической теории. Сравним элементы матрицы для с выражением (15) для амплитуды. Мы можем написать

Таким образом, элементы матрицы ближайшие к диагональному элементу, дают члены ряда Фурье,

представляющего классически величину состоянии (т.е. в состоянии с энергией ). (Число предполагается здесь большим.) Эта формальная аналогия между членами классического ряда Фурье и элементами матрицы, представляющей квантовый оператор, послужили Гейзенбергу исходной точкой для построения квантовой механики, которая в этой первоначальной форме называлась, как мы уже упоминали, «матричной» механикой.