§ 13. Расщепление уровней энергии в электрическом поле

Наша цель — найти поправки к уровням энергии водорода для небольших значений главного квантового числа в предположении, что параметр весьма мал. Введем новые переменные

Так как параметр у нас отрицателен (приближенное значение его равно то величины будут вещественными и пределы их изменения будут . В новых переменных уравнения (18) и (19) § 12 примут вид

где

а параметры равны

так что

Из уравнения (4) следует, что постоянная будет малой только в том случае, если значения главного квантового числа невелики, как это мы и предположили в самом начале. Если считать известным, то уравнения (2) и (3) представляют уравнения для собственных функций самосопряженных операторов, собственные значения которых равны Определив эти собственные значения, мы найдем затем по формуле (6) собственные значения энергии

В уравнениях (2) и (3) мы будем рассматривать члены, содержащие параметр как возмущение. Уравнения невозмущенной задачи будут вида

Это уравнение было подробно исследовано нами в §§ 3, 4 и 5. Мы знаем, что собственные значения его суть

а собственные функции равны

Поэтому собственными значениями и функциями уравнений (2) и (3) в нулевом приближении будут

Из (10) и (11) мы получаем, в том же приближении,

где целое число принимает значения и представляет не что иное, как главное квантовое число.

Все собственные значения оператора (7) простые. Поэтому, чтобы получить поправку первого порядка к (10) и (11), достаточно найти диагональный элемент матрицы для возмущающей функции, каковой является для величина — и для (3) величина Интеграл вида

уже был нами вычислен; по формулам (19) и (21) § 4 мы имеем

Поэтому собственные значения в первом приближении будут

Сумма этих выражений равна

где имеет значение (13). На основании (4) и (6) мы имеем, следовательно, приближенное равенство

Здесь мы можем в поправочном члене заменить его приближенным значением Мы получим

Решая это уравнение относительно получим в том же приближении

Таким образом, уровни энергии фактически зависят лишь от двух квантовых чисел: от главного квантового числа и от разности При данном эта разность может принимать все значения от до Придавая ей все допустимые значения, получим искомое расщепление терма во внешнем электрическом поле. Формула (20) находится в хорошем согласии с опытом.

Мы видели, что состояние электрона в невозмущенном атоме водорода может быть описано либо при помощи квантовых чисел (сферические координаты), либо при помощи квантовых чисел (параболические координаты). Так как собственные функции не совпадают с собственными функциями (одни являются линейными комбинациями других с теми же значениями то состояния и будут разными. Может возникнуть вопрос: в каком же состоянии находится в самом деле электрон в невозмущенном атоме водорода? На этот вопрос можно дать следующий ответ. О состоянии атома мы можем судить, измеряя его энергию Так как невозмущенная энергия зависит только от то в невозмущенном атоме с определенной энергией только это квантовое число имеет определенное значение, тогда как, например, в отдельности остаются не только неизвестными, но и физически неопределенными. Все, что мы можем сказать о волновой функции такого атома — это, что она является линейной комбинацией собственных функций с данными и разными значениями других квантовых чисел (причем эта комбинация может быть выражена как через так и через Чтобы сделать, например, разность определенной, нужно оказать на атом определенное физическое воздействие, а именно, поместить его в электрическое поле. Когда это сделано и разность измерена, то состояние электрона фиксировано уже с большей

определенностью, и мы можем утверждать, что его волновая функция выражается через собственные функции не только с определенным но и с определенным значением разности Таким образом, различие в получаемых состояниях имеет своей причиной не математический произвол (тот или иной выбор координат или собственных функций), а то или иное физическое воздействие на атом.