§ 4. Вибратор в одном измерении

Рассмотрим уравнение

Так как коэффициенты уравнения остаются при конечных конечными, то единственными особенными точками его являются Нам нужно найти такие решения, которые оставались бы конечными при Такого рода решения существуют, как мы увидим, лишь при некоторых определенных значениях параметра эти значения и являются характеристическими числами уравнения, т. е. собственными значениями соответствующего оператора.

Чтобы исследовать уравнения при произведем подстановку

Тогда уравнение примет вид

Будем искать в виде ряда

Подставляя (4) в (3), будем иметь

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим

Соответственно двум значениям а получаем два возможных решения

Беря интеграл от обеих частей (2), получим для первого решения

так что

и для второго решения

где невыписанные члены убывают с возрастанием модуля Общий интеграл уравнения (1) будет при больших положительных I иметь вид

и при больших отрицательных

Нам нужно, чтобы оставалось конечным при и при а это возможно только, если одновременно

Таким образом, то решение нашего уравнения, которое нас интересует, должно быть вида

где при должно быть лорядка Найдем дифференциальное уравнение для Подставляя (9) в (1) к сокращая на показательный множитель, получим

Будем искать решение этого уравнения в виде ряда по степеням Так как не есть особенная точка, то ряд этот будет содержать только целые положительные степени т. е. он будет вида

Подставляя (11) в (10), получим

В первой сумме множитель обращается в нуль при так, что суммирование можно начинать со значения Если теперь заменить в этой сумме на та новое будет пробегать значения от 0 до и мы получим

Чтобы сумма степенного ряда равнялась нулю, необходимо, чтобы все коэффициенты равнялись нулю, откуда

По этой формуле можно последовательно определить коэффициенты причем первые два коэффициента остаются произвольными. Ряд для будет иметь вид

или

где через и обозначены соответствующие ряды. Когда возрастает, функция должна быть порядка как при положительных, так и при отрицательных значениях Но мы имеем

Следовательно, выражения в отдельности должны быть порядка не выше Теперь возможны два случая: либо оба ряда продолжаются до бесконечности, либо хоть один из них обрывается. В первом случае они будут сходящимися при всех значениях так как отношение двух последовательных членов, равное

стремится к нулю с возрастанием Но из той же формулы (16) видно, что все члены ряда, начиная с некоторого (для которого будут одного знака. Следовательно, ряд будет содержать, с одним и тем же знаком, сколь угодно высокие степени и сумма его будет возрастать быстрее всякой конечной степени что противоречит нашему условию (порядок не выше Отсюда следует, что ряд непременно должен обрываться. Но это возможно только, если при некотором скажем при коэффициент равен нулю, тогда как По формуле (12) это будет иметь место, если

Если четное, то будет полиномом, и, полагая мы получим решение, удовлетворяющее поставленным условиям; при нечетном полиномом будет и мы должны положить обоих случаях решением будет полином степени