§ 3. Уравнение Шредингера для гармонического вибратора

Рассмотрим пространственный гармонический вибратор с энергией

Такого рода модель может соответствовать молекуле с тремя колебательными степенями свободы. Для нахождения собственных функций оператора энергии применим способ, упомянутый в конце предыдущего параграфа, и постараемся найти такие операторы, которые коммутировали бы между собой и

с оператором энергии. Такими операторами будут, очевидно,

К уравнению

мы можем присоединить три уравнения

причем

и

Так как все три уравнения (4) одного и того же типа, то достаточно рассмотреть какое-либо одно из них, например первое, т. е., другими словами, рассмотреть вибратор в одном измерении.

Мы имеем

или

Положим

Тогда уравнение (7) напишется

Обозначим через решение этого уравнения, тогда решение уравнения (3) для пространственного вибратора будет

причем, согласно (6),

Таким образом, вся задача привелась к исследованию уравнения (9), которым мы сейчас и займемся.