§ 7. Общее исследование уравнений для радиальных функций

Обратимся теперь к исследованию уравнений (3) § 6. Эти уравнения имеют две особые точки:

Начнем с исследования вблизи Положим, что при малых потенциальная энергия разлагается в ряд вида

Коэффициент равен, как мы уже отметили в § 7 гл. произведению заряда ядра на заряд электрона так что

Отбрасывая в коэффициентах правых частей уравнений (3) § 6 все члены, кроме тех, которые обращаются в бесконечность при получим

Положим, что вблизи

и подставим эти выражения в уравнения (2). Приравнивая коэффициенты при получим систему линейных однородных

уравнений

для определения Эти уравнения имеют решение, если определитель из коэффициентов при неизвестных равен нулю

Отсюда получается для показателя значение

где есть положительная величина

Постоянная есть отвлеченное число, равное приблизительно

Поэтому при всех допустимых значениях величина, стоящая под корнем в (6), будет положительна. Постоянная

носит название Зоммерфельдовской (Sommerfeld) постоянной тонкой структуры.

Таким образом, вблизи общее решение уравнений (3) § 6 имеет вид

Чтобы функции и обращались в нуль при необходимо, чтобы постоянная равнялась нулю.

Если то Поэтому, хотя а следовательно, и будут обращаться в нуль при но первоначальная функция будет (для обращаться при в бесконечность, как

В этом можно видеть некоторый недостаток теории. Это обстоятельство связано, быть может, с тем, что нельзя экстраполировать Кулонов закон притяжения на расстояния столь малые, что

т. е.

Займемся теперь исследованием уравнения для больших значений Положим, как и в § 7 гл. IV ч. II, что на больших расстояниях потенциальная энергия имеет вид

Будем искать решения уравнений (3) § 6 в виде

Подставим эти выражения в уравнения и приравняем коэффициенты в членах порядка и . Мы получим

Приравнивая нулю определитель в уравнениях (14), получаем для постоянной а значения

Левые части уравнений (15) имеют те же коэффициенты, что и уравнения (14). Пользуясь тем, что определитель из этих коэффициентов равен нулю, мы можем исключить из уравнений если умножим первое уравнение на —а, второе на и сложим. Мы получим

откуда, выражая при помощи (14) через

будем иметь после упрощений

Это уравнение дает для значение

Постоянных мы определять не будем. Сообразно двум знакам у а общий интеграл будет иметь вид

или

Если мы предположим

то величины будут часто мнимыми и функции и будут при оставаться конечными при любом выборе постоянных Но эти постоянные мы можем выбрать так, чтобы обращались в нуль при Следовательно, мы можем утверждать, что область (19) принадлежит сплошному спектру. Точечного спектра в этой области быть не может, так как при а чисто мнимом не обладают интегрируемым квадратом. Если же

то величина а будет вещественной: мы будем считать ее положительной. Поэтому функции либо быстро возрастают (если , либо быстро убывают (если на бесконечности, так что в этом промежутке сплошного спектра быть не может, и либо существует точечный спектр, либо вообще нет собственных значений. Если, наконец,

то величина а равна нулю, а обращается в бесконечность, так что выражения (18) становятся неприменимыми.

Асимптотические решения наших уравнений нужно искать в виде, аналогичном (11) § 7 гл. IV ч. II. Если мы положим

мы получим, путем рассуждений, аналогичных только что изложенным, для случая

и для случая

Когда мы имеем на больших расстояниях притяжение, то и величина вещественна. В этом случае точка принадлежит к сплошному спектру энергии, а точка № — нет. В случае же отталкивания чисто мнимо; тогда к сплошному спектру относится точка а не

Таким образом, мы установили, что областью сплошного спектра будет в случае притяжения

и в случае отталкивания

тогда как точечный спектр возможен только, если

Из уравнений (3) § 6 для радиальных функций мы можем вывести некоторые общие следствия относительно расположения уровней энергии точечного спектра.

Умножая первое уравнение (3) § 6 на и второе на и складывая, получим

Интегрируя это выражение от 0 до и учитывая поведение функций точечного спектра на пределах, получим слева нуль,

тогда как правая часть дает

Но мы знаем, что для точечного спектра лежит между поэтому правая часть отрицательна, и мы имеем неравенство

Отсюда следует, что при отрицательном (притяжение) в среднем больше Как мы видели в § 6 формула (4), это будет в том случае, когда близко к т. е. когда Следовательно, в случае притяжения отрицательных уровней энергии, принадлежащих точечному спектру, не существует.

В случае же отталкивания не существует положительных уровней энергии, но могут оказаться отрицательные. Эти отрицательные уровни (как и состояния с отрицательной кинетической энергией, о которых мы говорили в § 12 гл. I) не могут иметь прямого физического смысла.