§ 8. Вывод асимптотического выражения

Чтобы вывести на основании формулы (14) § 7 асимптотическое выражение для справедливое при больших положительных значениях мы деформируем путь интегрирования в интеграле (14) § 7 следующим образом. Вместо прямолинейного отрезка мы соединим точки 0 и 1 ломаной линией, идущей от 0 до от до и от до 1, где А — некоторое положительное число. Так как между первоначальным и деформированным контуром подынтегральная функция голоморфна, то величина интеграла от гакой деформации не изменится. Если мы будем увеличивать А до бесконечности, то интеграл по участку от до будет, вследствие показательного множителя под интегралом, стремиться к нулю, и в пределе мы получим

где имеет значение (13) § 7. В первом интеграле полагаем

и во втором

Пределы для будут в обоих интегралах Мы будем иметь

Если мы введем переменную

то можем написать

где через обозначен интеграл

есть сопряженная с ним величина. Асимптотическое выражение для получить уже нетрудно; для этого достаточно разложить подынтегральную функцию по обратным степеням и проинтегрировать почленно. Ввиду того, что ряд

сходится лишь при тогда как интегрирование по происходит до бесконечности, ряд, полученный почленным интегрированием, будет расходящимся (асимптотическим). Мы будем иметь

где символ обозначает формальный ряд, составленный по закону

На основании (17) § 7, мы можем наши результаты записать в виде

причем знак равенства нужно понимать в смысле асимптотического равенства. Полученная формула справедлива не только для вещественных, но и для комплексных значений при условии Так, например, если мы положим

где целое положительное число, то второй член в (10), вследствие того, что

обратится в нуль, а формула (10) даст точное (а не только! асимптотическое) равенство

Из сравнения (11) с (11) § 3 и (22) § 3 ясно, что формула (11) дает полиномы расположенные по возрастающиу степеням х (слева) и по убывающим степеням х (справа).