§ 12. Вторая внутренняя степень свободы электрона

Возможность отрицательных значений кинетической энергии представляет существенную трудность теории. Эта трудность тесно связана с отмеченным выше парадоксом, который заключается в том, что собственные значения операторов скорости равны . И то и другое представляет проявление второй внутренней степени свободы электрона, описываемой операторами (первой внутренней степенью свободы мы считаем ту, которая описывается вектором спина с составляющими Эта вторая внутренняя степень свободы имеет релятивистское происхождение. Физическое значение ее состоит, по-видимому, в том, что уравнение Дирака в известном смысле описывает не только электроны, но и позитроны — частицы с той же массой, как электроны, но с зарядом, равным по величине и противоположным по знаку заряду электрона.

При таком понимании уравнения Дирака оказывается невозможным полностью сохранить обычную интерпретацию волновой функции как величины, описывающей состояние одной частицы. Обычная интерпретация остается в известном смысле применимой к тем величинам (и прежде всего к тем элементам Гейзенберговых матриц), которые не связаны с переходами из состояний с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией (или с обратными переходами). Чтобы выделить эти величины, нужно построить для соответствующих операторов Гейзенберговы матрицы и отбросить в них те элементы, которые относятся к переходам между значениями энергии противоположных знаков (между значениями порядка и по» рядка Поскольку эти элементы матрицы содержат быстропеременные множители типа где частота порядка такая операция приближенно соответствует усреднению за промежуток времени, большой по сравнению с но малый по сравнению с обратной величиной частот, соответствующих обычным переходам. Проиллюстрируем эти соображения на простом примере.

Построим Гейзенберговы матрицы для операторов входящих в оператор энергии

Согласно формуле (8) § 4, эти операторы удовлетворяют

соотношениям

Пользуясь обозначением

напишем оператор энергии в виде

Принимая формулу (8) §

мы можем утверждать, что при отсутствии электрического поля величина является константой движения.

Для построения Гейзенберговых матриц операторов составим для них уравнения движения. Полагая для краткости

мы получим

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая, когда электрическое поле отсутствует. Поскольку в этом случае есть константа движения, мы можем в уравнениях (7) разуметь под не оператор (3), а эту константу. Тогда эти уравнения будут иметь постоянные коэффициенты и решаются весьма просто.

Введем вместо три матрицы

Эти матрицы удовлетворяют таким же соотношениям (2), как

и матрицы а именно,

Матрицы выражаются через матрицы по формулам

коэффициенты которых отличаются от коэффициентов в формулах (8) только знаком при

Уравнения движения для матриц будут иметь вид

где для краткости положено

Уравнения с условиями (9) легко решить. Мы будем иметь

где постоянные матрицы, удовлетворяющие соотношениям

аналогичным формулам (9).

Применим к найденным Гейзенберговым матрицам операцию усреднения, о которой мы говорили в начале этого параграфа. Мы будем иметь

Таким образом, усредненные значения Гейзенберговых матриц для операторов получаются равными

Подставляя эти значения в оператор энергии (4), будем иметь

Если учесть, что постоянная, квадрат которой равен единице, то это выражение полностью соответствует классическому выражению (3) § 11 для кинетической энергии.