§ 3. Вывод волнового уравнения
Нам нужно найти квантовый оператор, соответствующий Гамильтоновой функции (9) § 2. Мы начнем с простейшего случая свободного электрона, когда электромагнитное поле отсутствует и скалярный и векторный потенциалы равны нулю. В этом случае
Из-за характерной для теории относительности симметрии уравнений относительно координат и времени, раз волновое уравнение содержит линейно оператор дифференцирования по времени, то оно должно содержать также линейно операторы дифференцирования по координатам. Следовательно, квантовый оператор энергии должен быть линейным относительно операторов
т. е. он должен быть вида
где 
неизвестные пока операторы, не содержащие 
Но эти операторы не должны содержать также и координат х, у, z, ибо для свободного электрона все точки пространства равноправны. Следовательно, они должны действовать над какими-то новыми переменными, от которых волновая функция теории Шредингера не зависела. Смысл этих новых переменных мы установим ниже. Мы увидим, что они представляют обобщение операторов, вводимых в теории Паули.
Чтобы установить свойства операторов 
мы потребуем, чтобы между квадратом энергии и квадратом количества движения свободного электрона в квантовой механике имело место то же соотношение, как и в классической, а именно,
Вычислим квадрат оператора (2), имея в виду, что не содержат координат и, следовательно, коммутируют с 
но могут не коммутировать между собой. Мы получим
Это выражение совпадает с предыдущим, если будут выполнены условия
Если мы при помощи соотношений
введем вместо пропорциональные им операторы то оператор энергии 
напишется в виде
а новые операторы 
должны будут удовлетворять условиям
которые можно записать короче
