§ 6. Каноническое преобразование на примере вибратора

При решении задачи о вибраторе мы пользовались в качестве независимой переменной координатой так что состояние вибратора описывалось функцией Возьмем теперь в качестве независимой переменной квантовое число номер уровня энергии вибратора. Функция может быть разложена по собственным функциям оператора энергии

где коэффициент разложения

может быть истолкован, как мы знаем, как волновая функция, выраженная в переменных Найдем вид простейших операторов

в этих переменных. Имеем

Заменяя здесь его выражением (20) § 5 и группируя члены, получим

Таким образом, оператор переводит функцию с коэффициентами разложения в функцию с коэффициентами разложения где

причем символ следует понимать здесь как оператор. Это равенство можно записать в виде

где

так что

тогда как остальные элементы равны нулю. Таким образом, оператор для координаты может быть представлен в виде матрицы с элементами (7). Эта матрица имеет вид

Рассмотрим теперь оператор

Повторяя прежние рассуждения, заменяем в формуле

производную ее выражением из (21) § 5 и группируем члены

Таким образом, оператор может быть представлен в виде матрицы с элементами

Эта матрица будет иметь вид

Оператор энергии (в условных единицах)

выраженный в новых переменных, должен приводиться к умножению. Проверим это. Мы имеем

в силу дифференциального уравнения (13) § 5, которому удовлетворяет Отсюда видно, что

Элементы матрицы для Я, которая, очевидно, диагональна, равны

То же самое мы могли бы получить, составляя квадраты матриц и Мы имеем

Аналогично получаем для

Беря полусумму этих выражений, получаем

как это и должно быть.

Правило коммутации для и

должно, конечно, также удовлетворяться нашими матрицами. По правилу умножения матриц, мы имеем

откуда

что и требовалось доказать.